lunes, 12 de septiembre de 2011
LENGUAJE DESCRIPTIVO
"El estudio del contenido de la regla, es decir, de la hipótesis normativa, constituye la jurisprudencia propiamente dicha”
Norberto Bobbio
Según hemos visto en el capítulo anterior, las frases son conjuntos de palabras a los que con arreglo a ciertas convenciones se atribuye un significado. Las frases, pues, son conjuntos ordenados de signos, cuyo propósito y utilidad práctica consiste en la comunicación de ciertos significados.
También se ha señalado la necesidad de distinguir entre las frases imperativas y de actitud de las que hemos denominado "empíricas". Estas últimas tienden a proporcionar información acerca del mundo, basada en la experiencia del mismo; las primeras, en cambio, sirven para dar órdenes o para expresar los deseos, esperanzas o temores del que habla.
Su verificación permite también introducir un elemento de distinción entre uno y otro grupo de frases. Las empíricas, necesariamente deben admitir un principio de verificación para aceptar su verdad; las imperativas, por el contrario, no pueden ser ni falsas ni verdaderas, en principio no admiten verificación.
Su verificación permite también introducir un elemento de distinción entre uno y otro grupo de frases. Las empíricas, necesariamente deben admitir un principio de verificación para aceptar su verdad; las imperativas, por el contrario, no pueden ser ni falsas ni verdaderas, en principio no admiten verificación.
Se advierte entre ambas especies de enunciados una distinción eminentemente lingüística. Por tal motivo, Alf Ross señala que "....el primer paso hacia una clarificación debe consistir en dar cuenta de los diferentes niveles del análisis lingüístico, de manera que podamos darnos cuenta de las diferentes posibilidades que tenemos a nuestra disposición..."[1]
Tal tarea es acometida por Ross mediante un programa de análisis lingüístico,[2] que parte de la distinción entre lenguaje y discurso. Por el primero, siguiendo a Ferdinand de Saussure, entiende "la totalidad de las reglas que, en una comunidad lingüística particular, regulan el uso de los sonidos y formas, y el uso de los medios de expresión sintácticos y léxicos".[3] A diferencia de éste, el discurso "es cualquier uso concreto del lenguaje, si ocurre como discurso en sentido estricto, es una secuencia de sonidos llamados fonemas, si sucede como secuencia de caracteres escritos reciben el nombre de grafemas".[4] De acuerdo con las observaciones del autor que nos ocupa, en rigor de la verdad, más que hacer referencia al lenguaje descriptivo, este apartado debiera llamarse "discurso descriptivo".
Para caracterizar al discurso descriptivo, el autor de "Lógica de las Normas", parte de dos conceptos fundamentales: la frase y la oración.[5]
La frase es una figura lingüística que expresa o describe la idea de un tema. De esta noción se pueden distinguir dos elementos:
- La figura lingüística.
- La expresión de la idea de un tema.
La oración en el discurso descriptivo, es la figura lingüística que expresa una proposición (un indicativo), que a su vez, es la idea de un tema concebido como real. De nuevo se aprecian dos elementos:
- La figura lingüística.
- Una proposición, es decir, la idea de un tema concebido como real.
La frase describe un tema o asunto, mientras que la oración describe un estado de cosas (state of affairs), es decir, un tema pensado como real.
Como ejemplo, Ross propone la siguiente expresión:[6]
- La figura lingüística.
- La expresión de la idea de un tema.
La oración en el discurso descriptivo, es la figura lingüística que expresa una proposición (un indicativo), que a su vez, es la idea de un tema concebido como real. De nuevo se aprecian dos elementos:
- La figura lingüística.
- Una proposición, es decir, la idea de un tema concebido como real.
La frase describe un tema o asunto, mientras que la oración describe un estado de cosas (state of affairs), es decir, un tema pensado como real.
Como ejemplo, Ross propone la siguiente expresión:[6]
El cerrar la puerta por Pedro.
Sin lugar a dudas, es distinta a la expresión:
Pedro está cerrando la puerta.
Ambas describen el acto de Pedro, consistente en cerrar la puerta. La diferencia entre una y otra figura lingüística radica en la manera como en la segunda se describe el tema, pues en ella éste no sólo es pensado sino pensado como real, en el sentido de existir realmente.[7]
En el segundo caso, se está en presencia de una frase más una expresión que indica que el tema de la frase está pensado como real. A esto, Ross denomina "oración en discurso descriptivo".
Por tanto, gráficamente, la oración quedaría como sigue:
Pedro está cerrando la puerta. Así es.
Ross nos advierte de no caer en la tremenda confusión significativa de ver en el operador "así es", un operador de aserción que indique que la proposición es aceptada como verdadera. Tal operador sólo significa que el tema es pensado como real.
El discurso descriptivo, en consecuencia, alude a temas objetivos, de cuya mayor o menor conexión depende su mayor o menor grado de verdad. La verdad de un enunciado descriptivo depende fundamentalmente del hecho de que lo que afirma se dé efectivamente.
El problema de la verdad, es, desde el comienzo mismo del pensamiento filosófico, un gran reto. Preguntarse por la verdad es hacer filosofía.
Tarski resume este tópico afirmando que el enunciado "la nieve es blanca" es verdadero si, y sólo si la nieve es blanca,[8] con lo cual pone de relieve que la verdad consiste en que el tema que se enuncia lingüísticamente, realmente ocurra.
Tarski resume este tópico afirmando que el enunciado "la nieve es blanca" es verdadero si, y sólo si la nieve es blanca,[8] con lo cual pone de relieve que la verdad consiste en que el tema que se enuncia lingüísticamente, realmente ocurra.
Indiscutiblemente la verdad se obtiene a través de la verificación del tema objetivo, contenido en el enunciado descriptivo. Ya hemos apuntado en el capítulo anterior cuáles son las condiciones mínimas para ello. Sin embargo esto parece no ser suficiente. Se requiere introducir un grado aceptable de racionalidad en el discurso, lo cual sólo puede lograrse sometiéndolo a algún sistema de lógica formal.
Con lo anterior queremos decir, concretamente, que el discurso descriptivo, sus componentes lingüísticos, pueden predicar la verdad o la falsedad, parece ser el único al que resultaría aplicable todo el aparato de la lógica. Este estudio pretende demostrar en alguna forma las posibilidades de extensión de la lógica al discurso prescriptivo.
De cualquier manera, vale la pena destacar algunas características de la lógica del discurso descriptivo.
a) Objeto de la Lógica
La lógica, al igual que la matemática, se ocupa de inventar entes formales y de establecer relaciones entre ellos; por esta razón se le considera una ciencia formal. Sus objetos son simples formas en las que se puede verter un número ilimitado de contenidos.
Para Benson Mates,[9] la lógica se encarga de investigar la relación de consecuencia que se da entre las premisas y la conclusión de un argumento correcto. Se dice que un argumento es correcto, o válido, si su conclusión se sigue de, o es una consecuencia de sus premisas; de otro modo es incorrecto. Por un argumento, siguiendo al autor mencionado, se entiende "un sistema de enunciados declarativos (de un lenguaje determinado), uno de los cuales es designado como la conclusión y los otros como las premisas".[10]
La lógica es, pues, una ciencia deductiva. Estudia las relaciones formales entre proposiciones con valor lógico. Sus tesis forman un sistema deductivo, axiomático y formalizado.
A partir de los estudios de Frege y Russell, la lógica se convierte en lógica matemática. Los conceptos fundamentales de la matemática son definidos mediante conceptos puramente lógicos; de igual forma, las proposiciones fundamentales de la matemática son probadas a partir de principios lógicos.
Modernamente se han distinguido dos ramas de la lógica matemática: la lógica de las proposiciones y la lógica de los nombres.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Como el lenguaje es contundente, lo mismo que difuso e inexacto, cuando se aplica a la lógica (para lo cual fue creado) es absolutamente necesario un simbolismo lógico para un tratamiento exacto de nuestro objeto.
Bertrand Russell
Se llama así porque utiliza signos que pueden ser reemplazados por cualquier proposición, y que por ello se denominan "variables proposicionales".
La lógica estudia las estructuras formales de la inferencia (razonamiento). La lógica analiza su estructura y señala en qué condiciones es válido el razonamiento. La lógica proposicional estudia la estructura formal de la inferencia, tomando las proposiciones (o los enunciados). La lógica trata de enunciar: un enunciado es la proposición en la que se puede decir qué es verdadero y que es falso, nos informa sobre la realidad. En una proposición distinguimos unos cuatro tipos de oraciones:
1.- Descriptivas. Ejemplo "Los hombres mueren".
2.- Imperativas. Ejemplo "¡Muere!".
3.- Interrogativas. Ejemplo "¿Ha muerto?".
4.- Exclamativas. Ejemplo "¡Ojalá muera!".
Estas oraciones simplemente terminan siendo formas de expresiones sin más ni menos, pero en lógica éstas por sí solas no tienen mayor relevancia.
Ejemplos:
"¡No hables!" No es enunciado.
"¿Quién anda ahí?" No es enunciado.
"El presidente de los Estados Unidos es marciano" Sí es enunciado.
Clases de enunciados.
- Atómicos: Constan de una sola proposición, no se puede descomponerlas más.
Ejemplo:
“voy a dibujar a cien años luz la mueca que pintas cuando llego”
Se simboliza por letras mayúsculas a partir de la P como son la P, Q, R, S, T, etc. (y si es necesario P1, Q1, R1,… R2, Q2, etc.).
Los objetos elementales de la lógica proposicional son las frases atómicas, que se pueden definir como proposiciones simples dotadas de un significado completo; se habla así, de "frases bien formadas", para diferenciarlas de aquellas que carecen de sentido, no obstante su correcta estructura gramatical, por ejemplo, el enunciado famoso de Carnap: "el cinco por ciento de los números primos, que tienen por padre el concepto de temperatura y por madre el número cinco, mueren en un período de tres años, cinco kilogramos y siete centímetros después de su nacimiento, o bien de fiebre tifoidea o bien de la raíz cuadrada de una constitución democrática".[11]
- Molecular: es compuesta por dos o más proposiciones, constan de varios enunciados atómicos, se pueden descomponer, (además de ciertas expresiones como “y”, “o”, entre otras)
Ejemplo: “Empaco un par de camisas y un sombrero”.
Por una parte tenemos
“Empaco un par de camisas”
“Empaco un sombrero”
- Conectores: También son denominado como funtor, juntor estos son términos que conectan los enunciados atómicos, formando así los enunciados moleculares. Podemos distinguir los siguientes conectores:
No, y, o, si,… entonces, si y sólo si.
A = ¥ B = § C = ¤
Supongamos que en una sociedad determinada, los signos tipo A representan hombres y los tipo B representan mujeres, y el signo tipo C representa la relación "contraer matrimonio con". Entonces, de acuerdo con esto:
¥ ¤ §
De lo anterior entendemos que el hombre representado por ¥ está casado con la mujer representada por §.
Lo que se ha hecho, entonces, es formalizar las relaciones matrimoniales en una determinada sociedad; o sea, que se ha pasado de un simple cálculo a un lenguaje formalizado.
La lógica se entiende como un conjunto de cálculos a los cuales se les da una interpretación en el campo de investigación, lo cual constituye el objeto de la lógica (el razonamiento deductivo).
Se puede decir que la lógica es la ciencia de los principios de inferencia o razonamientos formalmente válidos. Lo específico de un razonamiento o inferencia consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas siguiendo una regla de inferencia dada, llamada modus ponens[12]. De esta conclusión se dice que es formalmente válida, es decir, que si sus premisas son verdaderas entonces la conclusión también es verdadera. La lógica se ocupa de la validez de los razonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que la componen.
En todo razonamiento, es posible diferenciar la forma del contenido. Así, por ejemplo:
Si llueve, entonces no iré a cine.
Si pago los recibos, entonces no tendré problemas.
Son dos enunciados de contenidos diferentes. Su forma, sin embargo, es la misma. Su estructura se representa así:
Si......, entonces.....
Se puede llenar el espacio vacío con letras mayúsculas, que representarán el contenido de los enunciados quedando la expresión así:
Si P entonces Q
A la lógica le interesa únicamente la forma de los razonamientos. A esto se le denomina lógica formal o ciencia de las formas o esquemas válidos de razonamientos. La lógica ha de hacerse con un lenguaje en el cual la forma aparezca aislada, y en el que la estructura del razonamiento se muestre sola.
Cálculo Proposicional
De las estructuras formales o sintácticas del lenguaje, solo se estudian las formas o estructuras argumentativas. Russell definió la lógica como "la ciencia de los sistemas deductivos". Otros la definen como la "ciencia de los principios de la validez formal de la inferencia", en que inferencia es lo mismo que razonamiento o argumentación. Esta definición nos da a entender que la lógica sólo está interesada por la validez formal de la inferencia, no por la interpretación semántica. Si en los ejemplos anteriores se interpreta, además de la estructura sintáctica que esconde el "filósofo has de morir" se entiende por ejemplo "humano, has de acertar las quinielas". Ocurre que sobre una estructura de forma válida puede hacerse una interpretación semántica falsa. La lógica se ocupa, entonces, de la validez formal, no de la verdad o falsedad.
Una complicada argumentación en la que uno termina por perderse, se convierte en un sencillo cálculo. Leibniz fue el que inició la lógica matemática, en donde habló de cálculo para referirse a las argumentaciones.
La oración se puede definir como: un conjunto de palabras con sentido completo; cuando hablamos de cálculo proposicional, la parte primordial de este, que es la proposición, es definida como un conjunto de palabras con sentido completo y calificable de verdaderas o falsas.
El cálculo proposicional forma parte del estudio de la lógica simbólica, esta tiene por estudio el cálculo de la inferencia, para demostrar la validez de un argumento, a través de una serie de reglas.
Un cálculo se compone de lo siguiente:
Un conjunto de elementos primitivos o símbolos elementales, los cuales constituyen los objetos del sistema.
Un conjunto de reglas de formación que establecen cuáles son las combinaciones u ordenamientos de símbolos elementales que están bien formados. Tales ordenamientos son llamados términos y fórmulas.
Un conjunto de reglas de transformación. Aplicándolas, se puede transformar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación igualmente bien construida.
Un cálculo es una construcción autónoma, ya que no hace referencia a nada que sea ajeno a él. Por tanto, no es un lenguaje en la medida en que no es medio de comunicación, sino un puro armazón sintáctico. Sus elementos carecen de significado. Se puede, sin embargo, transformar un cálculo en un lenguaje que interprete sus símbolos, dando a los mismos un significado.
La lógica matemática es la disciplina que trata de formas de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica da reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
Simbolización de proposiciones: Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple o atómica cuando en ella no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si...entonces..., si y sólo si). Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma una proposición compuesta o molecular.
Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se usan para ligar dos proposiciones; en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.
Ejemplo:
Hoy es viernes
Hay clase de laboral
Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas tales como:
Hoy es viernes y hay clase de laboral.
Hoy es viernes o hay clase de laboral.
Si hoy es viernes entonces hay clase de laboral.
Hoy no es viernes.
La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la forma de la proposición compuesta se conserva.
Ejemplo:
Hoy es viernes y hay clase de laboral.
Y
Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden colocarse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letras latinas mayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea:
P: Hoy es viernes.
Q: Hay clase de laboral.
Luego la proposición:
Hoy es viernes y hay clase de laboral.
Se simboliza así:
P y Q
En el lenguaje corriente se utiliza también la palabra "pero" o una "," en vez del término de enlace "y".
Ejemplo:
Fui a comer, pero no estudié.
Marcela está enferma, el martes iré a visitarla.
En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o".
Es temprano o está muy oscuro.
Otro giro de "o" es:
O es temprano o está muy oscuro.
En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es:
O
Cuando se usa el término de enlace: si... entonces, se obtiene la siguiente forma:
Si,… entonces
Si R entonces S
Ejemplo:
Si me levanto temprano entonces madrugo.
En este ejemplo puede suprimirse la palabra “entonces” y reemplazarse por una “→” así:
Si madrugo, llego temprano.
Cuando se usa el término de enlace: “es incompatible” se obtiene la siguiente forma:
Es incompatible
P es incompatible con Q
Ejemplo:
No puede haber paz con injusticias
En este ejemplo puede suprimirse la palabra “no puede haber” y reemplazarse por un “/”
Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposición simple, puede pasar inadvertida, pero se trata de una proposición compuesta.
Ejemplo:
El día no está caluroso
Puede presentarse como:
No ocurre que el día esté caluroso.
Y su forma es:
No
No P
También se usan símbolos para representar los términos de enlace, así:
Para la "y" se utiliza el símbolo ^.
Para la "o" se utiliza el símbolo v Para la "o...o" se utiliza el símbolo w.
Para el "no" se utiliza el símbolo ~.
Para el "si,…entonces…" se utiliza el símbolo →.
Para el "si y sólo si" se utiliza el símbolo ↔.
Para el “ni...ni” se utiliza el símbolo ↓.
Para el “es incompatible” se utiliza el símbolo /.
Conjunción: Cuando una proposición compuesta utiliza el término de enlace "y", es una conjunción. Esta es una parte invariable de la proposición que denota la relación que tienen dos proposiciones o entre miembros o vocablos de ellas, juntándolos o enlazándolos gramaticalmente.
Ejemplo
Hannah y Velvetina salen a la calle
Disyunción inclusiva: Si el enlace se hace mediante la conectiva "o" es una disyunción inclusiva. Cumple la función de separar dos realidades que están intrínsecamente referidas una a la otra.
Ejemplo
Camila sabe inglés o francés
Disyunción exclusiva: Cuando el enlace es mediante la conectiva “o...o” es una disyunción exclusiva, Donde necesariamente una de las dos opciones va a separar a la otra porque son datos contrarios.
Ejemplo
Fernando o habla de García Márquez o de Vargas Llosa
Negación: Si se usa el término “no” es una negación. Dada una proposición es posible negarla de varias formas por ejemplo la proposición atómica “El plomo es radioactivo” la podemos negar en la siguiente forma:
- No es el caso que el plomo sea radioactivo.
- No es cierto que el plomo es radioactivo.
- No ocurre que el plomo es radioactivo.
- El plomo no es radioactivo.
Condicional: Cuando la conectiva es “si...entonces...” es una proposición condicional, por que lleva internamente un requisito que se debe cumplir y si se cumple se da el segundo hecho
Ejemplo
Si Romeo habla, entonces Julieta se deleita
La primera parte que compone la proposición ‘Romeo habla’ es lo que se conoce con el nombre de antecedente, mientras que la segunda parte, ‘Julieta se deleita’ se conoce con el nombre de consecuente.
Bicondicional: Si se utiliza “si y sólo si” se tiene un bicondicional. Porque su contenido necesariamente será de cumplir con dos hechos al mismo tiempo.
Ejemplo
Arturo es padre de Carlos si y sólo si Carlos
es padre de Felipe
Para este caso esta proposición tiene el mismo sentido que
p → q ^ q → p
Binegación: Si empleamos “ni...ni” es una binegación. Pues contiene en esta clase de proposiciones dos negaciones.
Ejemplo
Miguel ni hace ni deja hacer
Incompatibilidad: Si empleamos la incompatibilidad recibe el nombre de anticonjuntor, en donde lo único que se quiere decir es que una misma persona no puede ser, a la vez, dos cosas;
Ejemplo
Es incompatible ser juez y abogado
Una persona no puede actuar a la vez como juez y como abogado, por tanto, de ser verdaderas las dos proposiciones atómicas, la molecular tendría el valor de F.
Las diversas escuelas de lógica han establecido variados símbolos para representar los valores y conectivas lógicas apuntadas, facilitando con ello la formalización del lenguaje; el siguiente cuadro describe como se emplean comúnmente por parte de diferentes autores los conectores lógicos y su simbología.
no | y | o | o…o | sie | sii | ni…ni | incomp |
– | ● | v | w | Þ | Û | ¯ | | |
~ | ^ | → | ↔ | / | |||
¬ | » | ||||||
É |
En las proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo con la colocación de ciertas palabras o mediante la puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis.
Ejemplo:
O los estudiantes de primero presentaron el examen, o temieron a una mala calificación, se refugiaron en las excusas para disculparse para no asistir. Este texto se simboliza de la siguiente forma:
P: Los estudiantes de primero presentaron el examen.
Q: Los estudiantes de primero temieron a una mala calificación.
R: Los estudiantes de primero se refugiaron en las excusas para no asistir.
Q: Los estudiantes de primero temieron a una mala calificación.
R: Los estudiantes de primero se refugiaron en las excusas para no asistir.
La proposición compuesta es:
(P w Q) → R.
La cual tiene un sentido distinto de la proposición:
P w (Q → R).
Podemos omitir los paréntesis cuando no hay lugar a ambigüedades, y se adopta una convención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos. La convención es:
"↔" y "→" dominan a "^" y "v".
El cálculo proposicional como un sistema axiomático.
Signos primitivos.
Letras latinas minúsculas y mayúsculas.
Signos lógicos: "~" (negación), "v " (disyunción).
Signos de puntuación: "(",")" (paréntesis).
A través de los signos es posible afirmar que existen específicamente algunos que le dan sentido dentro de la simple teoría. Estas sucesiones podemos llamarlas términos y fórmulas, los términos nos permiten identificar con los objetos de la teoría, mientras que las fórmulas expresan relaciones que existen entre los objetos; está especificación entre los términos y las fórmulas, se realiza a través de las siguientes reglas:
Reglas formativas.
1.- Una letra es una proposición.
2.- Si R es una fórmula, entonces ~R también es una fórmula, la cual se denomina negación de R.
3.- Si P y Q son fórmulas, entonces P ^ Q es una fórmula la cual se denomina disyunción lógica de P y Q.
Nota: En las 2 y 3, las letras mayúsculas se usan para designar fórmulas; no corresponden a signos del lenguaje.
Signos Definidos. Una vez establecidas las reglas de formación de fórmulas se pueden introducir abreviaciones con el fin de simplificar la escritura. Estas abreviaciones son el objeto de las definiciones matemáticas.
Uso de paréntesis y corchetes
Para evitar ambigüedades empleamos los paréntesis y también nos ayudan a descubrir la forma como esta propuesto el enunciado. Las formas del enunciado se discriminan por la forma de sus conectivas que se encuentran fuera del paréntesis.
~ [(P → Q) ^ R] → ~ (P → R)
En lógica sólo podemos aceptar formas válidas de inferencia, la validez podemos comprobarlas por el empleo de las tablas de verdad sobre los enunciados.
Forma de leer las proposiciones
P ^Q P y Q
P v Q P o Q
P w Q o P o Q
P → Q si P entonces Q
P ↔ Q P si, y sólo si Q
P ¯ Q ni P ni Q
P / Q P es incompatible Q
~ P no P
Los valores de las proposiciones P, Q, R ..., pueden ser analizados mediante las llamadas "tablas de verdad", en las cuales los valores "falso" y "verdadero" aparecen representados con las literales "v" y "f". A continuación presentamos las tablas de verdad de las funciones lógicas de referencia.
Ejercicios
1. Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones:
a. El dinero es caro
b. ¡Compre aceite gastrol!
c. Si diversifica sus inversiones sus riesgos se disminuyen
d. ¡El alto costo de la vida!
2. Sea P la proposición “la inflación perjudica a la gente de ingresos pecuniarios fijos”, Q la proposición “la inflación destruye el poder de la compra” y R la proposición “cuanto menor sea el nivel de gastos gubernamentales, menor será el peligro de inflación” Traduzca las proposiciones que representan:
a. P ^ Q
b. R ^ Q
c. (P v Q) → R
d. q → (P ^ R)
e. (P ^ Q) → (P ^R)
f. (P v Q) → (P → R)
TABLAS DE VERDAD
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no, o, y, si…entonces, si y sólo si, incompatible respectivamente. Estas se forman para determinar mecánicamente la verdad o falsedad de cualquier forma sentencial (o de un enunciado) una vez conocidos los valores de verdad de las fórmulas componentes.
La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor v a una proposición cierta o verdadera y f a una proposición falsa.
Si decimos que la proposición es una cadena de palabras con sentido completo y que puede ser calificable de verdadera o falsa la base de todas las proposiciones será 2; pues este número representa la verdad o la falsedad y n representa el número de proposiciones en cada oración.
2n, es decir si tenemos una sola proposición como P será su representación
2n = 2¹ = 2 es decir tendremos dos valores, la mitad de ellos serán verdaderos y la mitad de ellos serán falsos representados así:
P
V
F
2n = 2² = 4 es decir tendremos dos valores, la mitad de ellos serán verdaderos y la mitad de ellos serán falsos representados así:
P Q
V V
F V
F
F
A demás el cuatro de la respuesta nos indica que la proposición inicial en este caso P debe completar la misma cantidad de reglones y en su mismo ciclo así:
P Q
V V
F V
V F
F F
2n = 2³ = 8 es decir tendremos dos valores la mitad de ellos serán verdaderos y la mitad de ellos serán falsos representados así:
P Q R
V V V
F V V
V F V
F F V
V V F
F V F
V F F
F F F
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.
P | ~P |
V | F |
F | V |
Cuando tenemos una proposición afirmativa, como el caso de llueve, la representamos por P y su valor negado será el contrario, es decir ~P
P | v | Q |
V | V | V |
F | V | V |
V | V | F |
F | F | F |
Disyunción Inclusiva: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes. Partamos del siguiente enunciado, ‘se necesita empleada que sepa al menos un idioma’ la proposición será: Hannah sabe inglés o francés, que es representado por P v Q. En el caso que sepa o los dos idiomas o uno solo podrá ser considerada para el puesto.
P | w | Q |
V | F | V |
F | V | V |
V | V | F |
F | F | F |
Disyunción Exclusiva: Sólo podrá ser verdadera si se cumple uno de los dos enunciados y por ello el otro queda necesariamente excluido. Partamos de la siguiente proposición ‘O es de día o es de noche’, representada por P W Q. Si se cumple una necesariamente la otra queda sin poder cumplirse.
P | ^ | Q |
V | V | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | F | F |
Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta. Partamos de la siguiente proposición Carlos y Jarod van al cine, representada por P ^ Q. Por tanto, en los demás casos será falsa.
P | → | Q |
V | V | V |
F | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad. Partamos de la siguiente proposición ‘Sólo cuando llueve en Bogotá hace frió’. Representada por P →Q.
P | ↔ | Q |
V | V | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | V | F |
Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad. Partamos de la siguiente proposición ‘me casaré si y sólo si terminamos la carrera’. Representada por P ↔Q Se deben cumplir ambas condiciones para ser verdadero.
P | ↓ | Q |
V | F | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | V | F |
Binegación: Sólo en el caso de que ambas sean falsas será verdadera. Partamos de la siguiente proposición ‘Felipe ni hace ni deja hacer’ representada por P ↓ Q.
P | / | Q |
V | V | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | F | F |
Incompatibilidad: Dos proposiciones son entre sí incompatibles cuando no pueden ser ambas a la vez ciertas P / Q.
Hay, pues, tres tipos de proposiciones:
Se denomina tautología en retórica, al nombre que recibe la repetición de un mismo pensamiento en diversas formas; en la lógica una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por respuestas verdaderas; y corresponde a formas de pensar siempre correctas.
Ejemplo: El principio de contradicción: No sucede que Carlos pueda ser buen y mal abogado al mismo tiempo:
P~ (P ^~P)
V F F
V F V
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por respuestas falsas; y corresponde a formas de pensar incorrectas.
Indeterminada cuando en la parte final después de realizar una tabla de verdad nos da como resultado una respuesta combinada entre verdaderas y falsas sin importar el número de ellas, ni cual predomina; y corresponde a formas de pensar casi siempre incorrectas.
A partir del manejo convencional de las funciones lógicas expuestas, podemos desarrollar formalizaciones más complejas, que de cualquier forma seguirían siendo elementos primitivos de cualquier sistema de lógica.
Por ejemplo, la fórmula P^Q→R, será la conjunción de P y Q con R, mientras que la fórmula P→Q^R expresará la conjunción de P, con Q y R.
De igual manera, si entendemos que el operador N siempre afecta a una proposición colocada a su derecha, y el operador K une dos proposiciones -atómicas o moleculares-, es claro que las expresiones ~P^Q y ~P^Q son distintas. En la primera, lo negado es toda la conjunción (P^Q); en la segunda, lo negado solamente es el primer elemento, p. El desarrollo de su tabla de verdad demuestra que sus condiciones de verdad difieren:[13]
En relación a los enunciados o proposiciones moleculares, cabe señalar que su verdad depende de la verdad de los enunciados atómicos que lo forman, y de las relaciones que entre ellos se establezcan (conjunción, disyunción u otra)[14].
El cálculo proposicional puede ser axiomatizado si se cuenta con un procedimiento efectivo para determinar, en relación a toda frase bien formada, si es o no un axioma. A través de este sistema formal se manipulan las proposiciones con el fin de llegar a nuevas proposiciones; a las primeras se denominan "axiomas" y a las segundas, "teoremas".
Álvaro Rodríguez Tirado, en "Lógica Deóntica y Modelos Semánticos"[15], señala que toda base axiomática debe contener:
- Una lista de símbolos primitivos.
- Un conjunto de reglas de formación que nos permitan determinar qué fórmulas han de ser consideradas frases bien formadas.
- Un conjunto seleccionado de frases bien formadas conocido como axiomas.
- Un conjunto de reglas de transformación, que permitan diversas operaciones con los axiomas y también con las frases bien formadas, obtenidas mediante previas aplicaciones de las reglas de transformación.
Mediante las reglas de formación y transformación de un sistema axiomático, se pueden hacer dos cosas distintas:[16]
- Un conjunto seleccionado de frases bien formadas conocido como axiomas.
- Un conjunto de reglas de transformación, que permitan diversas operaciones con los axiomas y también con las frases bien formadas, obtenidas mediante previas aplicaciones de las reglas de transformación.
Mediante las reglas de formación y transformación de un sistema axiomático, se pueden hacer dos cosas distintas:[16]
- Establecer un sistema de símbolos y sus reglas para manipularlos
- Dar una interpretación o asignar un significado a esos símbolos o fórmulas.
Si únicamente sucede lo primero, se tendrá un sistema sin interpretar; si se hacen las dos cosas, el resultado será un sistema interpretado.
Ejercicios
Utilizando las tablas de verdad, determine cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas, contradictorias e indeterminadas.
1. ~ P v Q
2. (P ^ Q) →R
3. ~ (P^P) →P
4. P↔~ P
5. P v~ P
6. Q→ Q
7. (P v ~ P) ^ (Q→ Q)
8. (P ↔ ~ P) ^ (P v ~ P)
9. (P ↔ ~ P) v (P v ~ P)
10. (~ P↔ Q) v (P v ~ Q)
REGLAS DE INFERENCIA TAUTOLÓGICA
Hablaremos de razonamiento teórico, cada vez que la decisión no dependa de aquel que la toma y cuando ella se origine de premisas en función de reglas de inferencias incuestionables.
Chaim Perelman.
La inferencia es un proceso lógico en el que de una o varias premisas se saca una o varias conclusiones. En muchos lógicos medievales se halla el término latino inferre para indicar el hecho de que en una relación (o consequentia) de dos proposiciones, la primera (antecedente) implica (o mejor dicho, contiene por "implicación estricta") la segunda (consecuente). En un problema lógico, las premisas representan datos conocidos de los que se infiere una nueva verdad.
La autoimplicación: establece que cualquier proposición se implica a sí misma; así podemos sacar la misma proposición como conclusión en la forma: "Si está muerto, está muerto"; cuya simbolización en representación lineal: Horizontalmente se simboliza A ® A
Verticalmente sería A
-----
A
La ley de la autoimplicación, que es la formulación lógica del principio de identidad, establece que el lenguaje tiene un sentido determinado. Al principio de identidad es reductible el principio de contradicción que establece la incompatibilidad de una afirmación y su simple negación: -(PÙ~P) y el principio del tercero excluido: Pw-P que declara la inexistencia de medio entre una afirmación y su simple negación.
La doble negación: que se ilustra con el siguiente ejemplo: "No es claro que en Perú no llueva" que quiere decir "en Perú llueve". En el ejemplo se puede ver que de dos negaciones, cuando una niega a la otra, se anulan; equivaliendo la doble negación a una simple afirmación. Entonces las dos negaciones niegan, que en forma lineal da origen a la fórmula: Horizontalmente se simboliza ~~A ® A.
Verticalmente sería ~~A
-------
A
La adjunción: si representamos con A la proposición “Jarod es un niño dedicado” y con B “Felipe es un niño dedicado”, es evidente que si son ciertas por separado también lo serán unidas o conjuntamente; es decir, la conjunción de ambas, que en forma lineal se representaría: lo cual en forma lineal da origen a la fórmula A, B ® (AÙB).
Verticalmente sería A
B
-----
AÙB
La simplificación: es la contraria de la adjunción; esto es, "si es verdad que Perú y Bolivia son países dependientes" podemos concluir que A es dependiente y que B es dependiente; que en forma lineal se representa por las fórmulas: lo cual en forma lineal da origen a la fórmula (AÙB) ® A y (AÙB)® B.
Verticalmente sería AÙB AÙB
------ -------
A B
La adición: Si representamos con A "Panamá está al norte de Colombia" y con B "Venezuela está al norte de Colombia", al unirlas mediante el conjuntor resultaría una proposición falsa; pero si las conectamos mediante el disyuntor inclusivo dado que una es cierta, la resultante "Panamá o Venezuela está al norte de Colombia" será cierta, que en forma lineal se representa: A ® (A v B).
Verticalmente sería A
--------
A v B
INFERENCIAS EN LÓGICA MODERNA
Ponendo ponens (poniendo pone): Si se considera el ejemplo “si llueve en Bogotá, entonces hace frío; y llueve; luego hace frío en Bogotá”, es evidente que si la condicional “si llueve, entonces hace frío en Bogotá” es cierta, y si, además, el antecedente “llueve" es verdadero, entonces se puede sacar como conclusión la verdad del consiguiente, o sea: "hace frío"; lo cual en forma lineal da origen a la fórmula: [(A ® B)Ù A]® B.
En los siguientes esquemas, en los cuales se afirma la verdad no sólo de la condicional sino también del antecedente de la misma, se observa las conclusiones pertinentes por "ponendo ponens":
A ® B
A
---------
B
Tollendo tollens (quitando quita): Al considerar el ejemplo “si llueve en Bogotá, entonces hace frío; y no hace frío; entonces no llueve en Bogotá” se observa que dado que en la segunda premisa es negada la verdad del consiguiente “hace frío en Bogotá”, en la que en forma lineal queda: [(A ® B) Ù ~ B] ® ~ A
Conclusión se debe negar la verdad del antecedente, o sea de “llueve”
A ® B
~ A
---------
~ B
Es necesario precisar que los modos ponendo ponens y el tollendo tollens, también se llaman silogismos hipotéticos, porque una de las premisas es una proposición hipotética o condicional
Tollendo ponens (quitando pone): Se expresa en el siguiente ejemplo “Cecilia sabe inglés y/o francés; y no sabe inglés; luego sabe francés”. La partícula “o”, que expresa la disyunción inclusiva, significa que al menos sabe una de las dos lenguas; por tanto, es lógico concluir que, si no sabe inglés, sabe francés; también podríamos concluir que, si no sabe francés, entonces sabe inglés. Lo cual en forma lineal da origen a la fórmula: [(A v B) Ù ~ A] ® B
A v B
~ A
-------
B
Ponendo tollens: Se trata propiamente de una disyunción exclusiva, en la que no pueden ser ambas ciertas. Por lo que, conocida la verdad de una cualquiera de las proposiciones disyuntivas, se puede concluir que la otra es falsa. Así en el ejemplo “una de dos, está soltero o casado; está soltero; luego no está casado” que en forma lineal la primera es [(A w B) Ù A] ® ~ B
A w B
A
--------
~ B
La segunda [(A w B) Ù B] ® - A
A semejanza del ponendo ponens y el tollendo tollens, debemos indicar que los modos tollendo ponens y ponendo tollens también son silogismos disyuntivos porque una de las premisas es una proposición disyuntiva.
Ley de la transitividad: Es una de las más usuales, y puede expresarse en el siguiente ejemplo "si hay escasez, los precios suben; si los precios suben, hay inflación; luego si hay escasez, hay inflación", que simbolizamos así: [(A ® B) Ù (B ® C)] ® (A ® C).
A ® B
B ® C
----------
A ® C
Si observamos, percibimos que se trata de un discurso en el que todas las proposiciones son condicionales, dispuestas de tal manera que el consiguiente de la primera hace en la segunda proposición de antecedente, y así sucesivamente; hasta llegar a una conclusión cuyo antecedente es el de la primera, y el consiguiente el de la última.
Los dilemas: El término dilema significa “premisa doble”, los dilemas son cuatro: dos simples y dos complejos. El simple constructivo es el más utilizado y fue empleado por Omar para justificar la quema de la famosa biblioteca de Alejandría:
Si estos libros dicen lo mismo que el Corán, hay que quemarlos (porque están de más).
Si dicen algo distinto, también hay que quemarlos (porque contradicen al Corán).
O bien dicen lo mismo, o bien algo distinto;
Luego, en cualquier hipótesis, hay que quemarlos.
Simbolizando las premisas del ejemplo en el esquema se tiene:
A ® B
B ® C
A v C
--------
B
En forma lineal se formula así: í[(M ® Q) Ù (D ® Q)] Ù (M v D)ý ® Q
Los dilemas restantes, y menos utilizados, los simbolizamos así:
Simple: A ® B Complejo A ® B
Destructivo A® C Constructivo C ® D
~ B v~ C A v C
------------- -----------
~ A B v D
Complejo A ® B
Destructivo C ® D
~ B v ~ D
------------
~ A v ~ C
Ejercicios
1. Demostrar: Los terremotos son predecibles
Premisa 1: Los terremotos tienen una causa sobrenatural o son
fenómenos naturales
Premisa 2: Si los terremotos son fenómenos naturales, los terremotos
obedecen a leyes.
Premisa 3: Si los terremotos obedecen a leyes, los terremotos son
predecibles.
Premisa 4: Los terremotos no tienen una causa sobrenatural
LUEGO?
2. Demostrar: Estudiaré con una beca en Francia
Premisa 1: Si aprobé todas mis materias y tengo promedio de nueve,
estudiaré en Francia
Premisa 2: Aprobé todas mis materias y la situación académica es
regular.
Premisa 3: Tengo un promedio de nueve.
LUEGO?
3. Demostrar: Hitler era la persona menos indicada para dirigir el mundo
Premisa 1: Hitler era un paranoico.
Premisa 2: Si Hiter era un paranoico o era un hombre malévolo, Hitler era la persona menos indicada para dirigir el mundo.
LUEGO?
4. Demostrar: Ingresaré a estudiar a la Universidad
Premisa 1: Si estudio Filosofía o Derecho, ingresare a la Universidad.
Premisa 2: Si obtengo una beca estudio Filosofía o estudio Derecho
Premisa 3: Obtengo una beca
Premisa 4: Los terremotos no tienen una causa sobrenatural
LUEGO?
REGLAS DE EQUIVALENCIA
Antes eran un trabajo filosófico la lógica y lo lógico, ahora se busca más en lo teórico.
Robert Tomanson
Si nosotros conmutamos 5 + 7 obtendremos la fórmula equivalente de 7 + 5. Y en el lenguaje común, las proposiciones "Cali es una ciudad colombiana y Medellín es una ciudad colombiana", "Medellín es una ciudad colombiana y Cali es una ciudad colombiana" son equivalentes.
Al formalizar la proposición "Cali es una ciudad colombiana" con A, y "Medellín es una ciudad colombiana" con P, tenemos la fórmula A Ù P que conmutadas equivalen a P Ù A. En lógica, el signo de equivalencia es Û con el cual podemos relacionar las fórmulas anteriores así:
(A Ù P)Û (P Ù A).
También son equivalentes aquellas fórmulas que, aún teniendo escritura diferente, tienen valores de verdad idénticos y el mismo sentido. Por tanto, si unimos dos fórmulas equivalentes mediante el bicondicionador y verificamos su valor de verdad, el resultado será forzosamente tautológico. Así verificamos la fórmula del ejemplo anterior
A P (A Ù P)Û (P Ù A)
v v v v v
f v f v f
v f f v f
f f f v f
Debe anotarse que las equivalencias no sirven, de por sí, para llegar a nuevas conclusiones; con todo, prestan buenos servicios en los procesos inferenciales debido a que permiten cambios en la morfología de una determinada fórmula. Existen diversas equivalencias tautológicas, pero se abordarán las siguientes reglas lógicas utilizadas en procesos lógicos y matemáticos:
La conmutación: Si en las matemáticas el orden de factores no altera el producto, en lógica el orden de los argumentos no altera el resultado en ningún caso, con excepción de la implicación. El ejemplo anterior es una clara conmutación. Pero la fórmula (A ® B) Û (B ® A) es una conmutación incorrecta por tratarse de una implicación. El mayor uso de la conmutación tiene lugar en el caso de la conjunción y de la disyunción inclusiva:
(A Ù B) « (B Ù A)
(A v B) « (B v A)
La transposición: la entendemos con el ejemplo "si llueve, hace frío" y "si no hace frío, es que no llueve" son equivalentes por transposición. La formula A ® B, transponiéndola, da origen a la equivalencia:
(A ® B) Û (~ B ® ~ A)
La transposición es una especie de conmutación con ayuda del negador. La implicación es el único caso que admite la transposición.
La asociación: La propiedad asociativa se denomina algunas veces principio de agrupación para la adición, significando que no da importancia la manera como se agrupen los números para ser sumados. La equivalencia se da cuando representamos por A, B, C series de proposiciones unidas por el conjuntor y el disyuntor inclusivo, así:
Cali, Medellín, Barranquilla son ciudades colombianas: A Ù B Ù C.
Podemos ir a bailar ó a comer ó al cine: A v B v C.
Utilizando los paréntesis, los argumentos de las fórmulas anteriores pueden quedar asociados así:
(A Ù B) Ù C (A v B) v C
A Ù (B Ù C) A v (B v C)
En las fórmulas precedentes, la distinta colocación de los signos de agrupación, no hace variar el valor de verdad de las mismas. Así en el ejemplo 4 = 2 + 2
1.- 4 = 3 + 1
2.- 4 = (2 + 1) + 1
3.- (2 + 1) + 1 = 2 + (1 + 1)
4.- 4 = 2 + (1 + 1)
5.- 4 = 2 + 2
La distribución: Se da la equivalencia si observamos la fórmula siguiente: A Ù (B v C). Evidentemente el conjuntor une A con B y C.
La letra A de la fórmula anterior puede distribuirse conjuntivamente con B y C por ser factores comunes, resultando las siguientes fórmulas equivalentes:
[A Ù (B v C)] Û [(A Ù B) v (A Ù C)]
Análogamente realicemos las siguientes distribuciones:
[A v (B Ù C)] Û [(A v B) Ù (A v C)]
[A ® (B Ù C)] Û [(A ® B) Ù (A ® C)]
[A ® (B v C)] Û [(A ® B) v (A ® C)]
La disyunción exclusiva: Si confrontamos las tablas de verdad del disyuntor exclusivo y del bicondicionador, se observará que sus valores son contrarios.
Además, si se niega el bicondicionador, resultarán debajo del negador los valores:
~ (A Û B)
f v
v f
v f
f v
Lo cual nos permite observar que son los mismos que los de la disyunción exclusiva. Por tanto, una disyunción exclusiva equivale a una bicondicional negada representable por la fórmula:
(A w B) Û ~ (A Û B)
La bicondicional: Recordemos que el bicondicionador se presenta por la flecha doble. Consecuentemente, en la fórmula A Û B se tiene que A implica a B y B implica a su vez a A. Por tanto, ambas letras son implicantes e implicadas.
Y al observar lo anterior, podemos deducir la siguiente equivalencia:
(A Û B) Û [A ® B) Ù (B ® A)
Por lo que queda claro que una condicional equivale a dos condicionales.
La condicional: Se da en equivalencias con términos de conjunción y disyunción inclusiva.
En términos de conjunción, conviene observar que la expresión "no es el caso que sea dependiente y no subdesarrollado" equivale a la condicional: si es dependiente entonces es subdesarrollado. Y representando cada una de las proposiciones por A y B sucesivamente, tenemos la siguiente equivalencia:
(A ® B) Û -(A Ù ~ B)
EJERCICIOS:
1. Demostrar: El helio tiene completa su última órbita de electrones.
Premisa 1: El helio es un elemento y el helio es un gas, y también tiene equivalencia 0
LUEGO
Premisa 2: Si el helio es un gas y el helio tiene valencia 0, entonces el
helio tiene completa su última órbita de electrones.
LUEGO
2. Demostrar: 2 es un número natural y 2 es par
Premisa 1: 2 es un número natural o bien 2 es par, o es impar
Premisa 2: No sucede que 2 es un número natural y 2 es par.
LUEGO
3. Demostrar: El gobierno sudafricano está impuesto.
Premisa 1: Si Sudáfrica es un país democrático, el pueblo es libre y el
gobierno es elegido por las mayorías.
Premisa 2: El pueblo no es libre o el gobierno no es elegido por las
mayorías.
LUEGO
LÓGICA CUANTIFICACIONAL
No basta al lógico un conocimiento tan general de los términos, sino que precisa conocer los términos, más en especial universales y particulares
Guillermo de Ockham
La lógica formal, al nivel de la lógica de enunciados, sólo puede analizar formalmente aquellos razonamientos en cuya validez no desempeña ningún papel la estructura interna de las proposiciones que la componen.
Ejemplo
Aristófanes es un comediante griego.
En la lógica proposicional podemos simbolizar con la letra P, pero cuando entramos a observar su composición, no podemos simbolizar con estas letras sentenciales, sino que tenemos que averiguar cuáles son los elementos que la componen y emplear cada uno de ellos con diferentes símbolos; estos son el argumento, sujeto, (S); y el predicado (verbo) (P); en nuestro ejemplo es sujeto Aristófanes, y el predicado un comediante griego
Hay razonamientos formalmente válidos que no lo son simplemente en virtud de las conexiones externas entre los enunciados. Es decir, su forma no puede exhibirse tan solo mediante letras y conectivos, sino que es preciso penetrar en la estructura interna del enunciado para buscar la validez de la inferencia en cuestión.
Ejemplo:
P: ninguna planta puede caminar.
P: ninguna planta puede caminar.
Q: Fernando puede caminar.
Luego,
R: Fernando no es una planta.
La lógica proposicional no puede explicar porqué R se deduce de P y de Q.
Se trata entonces de construir a partir del cálculo proposicional nuevos elementos de análisis para poder tener un más poderoso instrumento de deducción.
Dada una proposición, la lógica cuantificacional distingue en esta a los individuos y a sus propiedades.
Ejemplo:
Pantagruel come mucho
En la proposición anterior el individuo es: “Pantagruel”, este es un sujeto gramatical. La propiedad atribuida a este individuo es: “come mucho”, esto coincide con el predicado gramatical.
Este tipo de proposiciones en donde se atribuye una propiedad a un individuo determinado son las llamadas proposiciones simples. Los nombres propios hacen referencia a cualquier tipo de individuos determinados: personas, cosas, animales, etc. y se simbolizarán con letras minúsculas x, y, z… empleando la primera letra de la palabra principal del sujeto, se llamarán constantes individuales o términos. Se llamará predicado a la palabra o frase que hace referencia al sujeto o término, y se simbolizará con letras mayúsculas: F, G, H…
empleando la primera letra de la palabra principal del predicado.
Si en el ejemplo anterior se simboliza a:
Pantagruel, por la letra p.
Come mucho, por la letra C.
Cp
Las proposiciones simples pueden combinarse mediante conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas tales como:
“Carlos para de jugar y Camila sabe lo bello que es vivir"
Que se puede simbolizar así:
Jc ^ Bm
FUNCIONES PROPOSICIONALES
Considérense las siguientes proposiciones:
Fernando es abogado.
Jesús es abogado.
Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de “ser abogado”. Esto puede formularse recurriendo a la expresión “x es médico” en donde x es una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la propiedad de ser abogado es indeterminada. La expresión “x es abogado” no puede considerarse como una proposición puesto que no es en cuanto tal ni verdadera ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto de referencia. Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de funciones proposicionales.
Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables. La funciones proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones proposicionales o proposiciones simples por medio de los conectivos.
Ejemplo:
“x es un juez y z es un número juez”. Se puede simbolizar como:
Qx ^ Iz.
Si en una forma compuesta hay por lo menos una función proposicional como componente, entonces toda la forma compuesta es una función proposicional.
Ejemplo:
Ca v (Ab → Px)
es una función proposicional puesto que Px lo es.
Cuantificadores
Las expresiones:
Todo perito es experto.
Algunos cantantes son buenos.
Pueden traducirse respectivamente como:
Para todo x, si x es perito entonces x es experto.
Existe un x, tal que x es cantante y x es bueno.
Otros giros utilizados para la expresión “para todo x”, son:
Todo x
Cualquiera x
Cada x
Que se simbolizan por “∀x” y se llama cuantificador universal.
Otros giros utilizados para la expresión "Existe un x" son:
Hay x
Existe x, tal que
Algún x
Algunos x
Que se simbolizan por “∃x” y se llama cuantificador existencial.
Existen tres formas de convertir una función proposicional Fx en una proposición a saber:
Existen tres formas de convertir una función proposicional Fx en una proposición a saber:
* Haciendo la sustitución de las variables por un término específico.
* Anteponiendo la expresión "para todo x" o cuantificador universal.
* Anteponiendo la expresión "existe al menos un x" o cuantificador existencial.
El enunciado "existe al menos un x tal que Fx" se representa como:
($x)(Fx)
El enunciado "para todo x, Fx" se representa como:
(∀x) (Fx)
Al anteponer a la función proposicional Fx un cuantificador, se dice que la variable x ha pasado a ser una variable ligada.
Una proposición de la forma (∀x) (Fx) es verdadera cuando todas las sustituciones de la variable x por términos específicos del conjunto de referencia convierten a Fx en enunciado verdadero.
Un enunciado de la forma (∃x) (Fx) es verdadero cuando al menos un caso de sustitución de la variable x por un término específico del conjunto de referencia, convierte a Fx en un enunciado verdadero.
Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: No todos son litigantes. En este caso la simbolización será ~(∀x) (Cx) donde Cx es la función proposicional “x es litigante” que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres.
Las palabras “ningún”, “ninguno”, “nada”, “nadie” corresponden también a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposición “ninguno es empleado publico” no equivale a la proposición “no todos son litigantes” sino a la expresión "para todo x, x no es católico" que se simboliza (∀x) (~ M x).
Las proposiciones anteriores pueden estar negadas, como por ejemplo “no es cierto que los muertos tienen sed” la cual se simboliza como ~(∃x)(Fx) donde Mx simboliza la expresión “x es un poeta”. Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales puede tener negaciones internas como “algo no es único” la cual se simboliza como (∃x) (~ Tx) donde Tx simboliza la expresión “x es único”.
EJERCICIOS
Represente simbólicamente las siguientes proposiciones:
1. 2 es par
2. El Aragón es un gas
3. 9 no es par.
4. El Aluminio no es un gas.
5. Venus es un planeta
6. Mercurio tiene atmósfera
7. Júpiter y la tierra tienen atmósfera
8. Todos los planetas tiene atmósfera.
Lógica de las Relaciones
Funciones proposicionales binarias
Funciones proposicionales binarias
A un predicado puede ir unido más de un sujeto o término, como por ejemplo:
"Pedro fue discípulo de Jesús"
Este tipo de predicados expresa una relación entre los objetos o términos. Aquí vemos dos términos que son Pedro y Jesús; sin embargo en este caso los términos no ocupan el lugar del sujeto gramatical puesto que “Jesús” hace parte del predicado gramatical.
Cuando, como en el ejemplo, la relación se hace entre dos individuos, se le llama binaria o diádica. Otras relaciones pueden establecerse entre tres o más individuos. Por ejemplo: "x está entre a y b". La proposición “Pedro fue discípulo de Jesús” la cual se simboliza DpJ o pDJ es el resultado de una sustitución dentro de la función proposicional:
"x fue discípulo de y"
esta función proposicional se simboliza Dxy o xDy.
Cuando se efectúa la sustitución es necesario conservar el orden en la escritura de acuerdo a que el término que entra a sustituir la variable ocupe el lugar de ésta. Por ejemplo, si en lugar de escribir Dpj escribimos Djp, la proposición será:
"Jesús fue discípulo de Pedro"
Cuando se tiene una función proposicional en dos variables, es posible convertirla en una proposición sustituyendo cada una de las variables por un término específico o añadiendo un cuantificador a cada variable.
Las siguientes son las diferentes maneras de obtener una proposición a partir de una función proposicional dada.
Las siguientes son las diferentes maneras de obtener una proposición a partir de una función proposicional dada.
Sea Dxy: "x fue discípulo de y"
* Pedro fue discípulo; que se denota Dpj.
* Todos fueron discípulos de todos; que es (∀x) (∃y) (Dxy).
* Todos fueron discípulos de algunos; que es (∀x) (∃y) (Dxy).
* Algunos fueron discípulo de todos; que es (∃x) (∀y) (Dxy).
* Algunos fueron discípulos de algunos; que es (∃x) (∃y)(Dxy).
* Juan fue discípulo de todos; que es (∀y) (Djy).
* Juan fue discípulo de Algunos; que es (∃y) (Ajy).
* Todos fueron discípulos de Jesús; que es (∀x) (Dxj).
* Algunos fueron alumnos de Jesús; que es (∃x) (Dxj).
EJERCICIOS
Represente simbólicamente las siguientes proposiciones, utilizando A para Americano, E para Europeo, C para Colombiano y a para Felipe Hernández
1. Felipe Hernández es colombiano
2. Todos los colombianos son americanos
3. Felipe Hernández es americano.
4. Ningún colombiano es europeo
5. Ningún europeo es colombiano.
LÓGICA DE CONJUNTOS
Cuando se afirma algo, siempre es evidente la suposición previa de que los nombres ya sean simples o compuestos, hacen referencia.
Frege. Estudios sobre Semántica.
En la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.
Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe:
x Î A.
que se puede leer también “x pertenece a A” o “x está en A”. Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:
x Ï A.
Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 3, 5, 7, se escribe:
A = { 3, 5, 7}
Esto se conoce como expresión por extensión del conjunto.
Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números podemos seleccionar el conjunto B de los números impares, en este caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:
Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números podemos seleccionar el conjunto B de los números impares, en este caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:
B = {x / x es impar}
lo que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es impar". Esta forma de definir un conjunto de llama por comprensión.
Definiciones
Igualdad de Conjuntos. El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos; es decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente.
Igualdad de Conjuntos. El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos; es decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente.
Luego, podemos escribir:
(A = B) ↔ (∀x) (x Î A → x Î B).
Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota como: A ⊂ B.
Simbólicamente esto se puede expresar así:
(A ⊂ B) ↔ (∀ x) (x Î A Î → Î B)
Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B,
Escribimos: A ⊂ B.
Con esta definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de igualdad de dos conjuntos, así:
(A = B) ↔ (A ⊂ B) ^ (B ⊂ A)
Puesto que todo conjunto A es subconjuto de si mismo, se dirá que A es un subconjunto propio de B; si A es subconjuto de B y A no es igual a B. Más brevemente, A es subconjuto propio de B si A ⊂ B y A ≠ B. Esta situación puede representarse mediante un diagrama así:
Subconjunto
Conjunto Universal. Es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio de discusión o referencial.
El conjunto universal se designa con el símbolo 1.
Conjunto Vacío. Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por 0. Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo:
El conjunto universal se designa con el símbolo 1.
Conjunto Vacío. Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por 0. Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo:
Sea A = {x / x2 = 4 ^ x es impar}.
Conjunto de Partes de un Conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A, se denomina conjunto de partes de A y se denota P (A).
En consecuencia,
x Î P(A) ↔x ⊂ A
P(A) = {x / x ⊂ A}
Operaciones Fundamentales con Conjuntos.
Unión. La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.
En consecuencia,
x Î (A + B) ↔ x Î A v x Î B.
Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:
A + B = {x / x Î A v x Î B}
Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:
Unión
En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A ^
B y se lee "A intersección B".
En consecuencia,
x Î A^ B ↔ x Î A ^ x Î B.
El conjunto A ^
B está dado por:
A^B = {x / x Î A ^ x Î B }.
Gráficamente, una representación de A^ B es:
Intersección
La región rayada corresponde a A ^ B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.
En consecuencia,
x Î A' ↔ x Î 1 ^ x Ï A.
Gráficamente, su representación está dada por:
Complemento
A' = {x / x Î 1 Î x Ï A}.
Ejercicios
Simbolizar las siguientes proposiciones:
a) El dinero es algo poderoso.
b) Michel Jackson es el Rey del Pop
c) Los poetas son románticos.
d) Todos los deportes son saludables.
e) La natación es un deporte
f) Algunos deportes son de fuerza.
g) La natación es un deporte y no es de fuerza.
LÓGICA DE CLASES
Los hechos más simples imaginables son aquellos que consisten en la posesión de una cualidad por parte de una cosa particular Bertand Russell. La filosofía del atomismo lógico.
En la lógica de clases la consideración extensional ocupa el primer plano; por tanto, partimos de los individuos a los que conviene un predicado.
Cada predicado simple constituye una clase. Entonces, se presenta algunos ejemplos: "los contadores", "los fumadores de pipa", "los bebedores de cañazo", "los autos verdes", etc.
Como abreviaturas de clase se utiliza las mayúsculas “C”, “L”, y “M”. Para indicar que “es elemento de” escribimos “Δ. Por ello en “x Î L” leemos como “x es elemento de la clase L”. Sustituimos “Carlos” por “a” mientras que “C” sustituye a la clase de los estafadores, con lo que “a Î C” equivale a decir “Pedro es un estafador”.
La clase universal es la que contiene todo; pues es el dominio de individuos a los que se refiere nuestro discurso. La clase vacía o nula es la clase que no tiene elementos; pues es la clase que está implícitamente incluida en todas las clases; su símbolo es Æ y formalmente se define como:
Æ = {x/x ¹ x}
Operaciones de Clases
Las clases pueden enlazarse mediante distintos conectores, con lo que se originan nuevas clases; ejemplos de ellas son:
a.- La reunión: Es la unión o suma de dos clases: “A” es la clase de los Alumnos y “B” la de los buenos estudiantes. Mediante la reunión de ambas surge la clase reunida “M U N”, es decir, la clase de todos los que son músicos, cultivadores de rosas o ambas cosas a la vez. Así podemos definir a la clase reunida:
A U B = df {x/xÎAÚxÎB} (clase de todas las x, para las que vale decir que x es elemento de A o que x es elemento de B.
b.- El promedio: Es el promedio o intersección de dos clases: “A” sería el significado de los estudiantes y “B” el de los universitarios. Con lo que los estudiantes que son universitarios son elementos de la clase promediada "A Ç B". Y definimos:
A Ç B = df {x/xÎAÙxÎB} (clases de todas las x, para las que vale que x es elemento de A y x es elemento de A).
c.- Diferencia: Se da la diferencia entre dos clases A y B; la clase formada por los miembros que son de A y no pertenecen a B: “A” sería la clase de ángulos rectos y “B” la de los cuadrados. Los ángulos rectos que son cuadrados constituyen la clase diferencial “A ~ B". Y definimos:
A ~ B= df{x/xÎA^~xÎB} (clase de todas la x, para las que vale que x es elemento de M y x no es elemento de N).
Relaciones de Clase
Entre las principales relaciones de clase conocemos la igualdad, la inclusión, comunidad y la exclusión de clases.
a.- Igualdad de clases C y D. Decimos “C igual a D”. Se da la igualdad cuando una clase C es igual a una clase D y cuando todos los miembros de C son miembros de D y cuando todos los miembros de D son miembros de C.
C = D = df (∀x) (xÎC «xÎD)
Ejemplo: C sería la clase de los seres sensibles racionales y L la clase mamíferos bípedos.
b.- Subsunción o inclusión de las clases C y D. Decimos "C sub D". Decimos que la clase C está incluida está incluida en la clase L, cuando todos los miembros de C son miembros de D, siendo el símbolo de la incusión Ì.
C Ì L = df (∀x) (xÎC Ì xÎL)
Ejemplo: C sería la clase de los Barranquilleros, D la clase de los Colombianos.
c.- Comunidad de clases C y D. Así decimos “C común con D” que se expresa: C U D
C U D = df ("x) (xÎC Ù xD)
Ejemplo: al menos un Caleño es lógico. C y D por lo menos tienen un elemento común.
d.- Exclusión de las clases C y D. La exclusión de C y D se expresa por: "C ¹ D"
C ¹ D = df (∀x) (xÎC Ì xÏD)
que se lee ”para cualquier x tal que, si x pertenece a C entonces x no pertenece a D”
LOGICA DE TÉRMINOS
Todos los que estudian la lógica se proponen mostrar que los argumentos se componen de proposiciones y las proposiciones de términos. El término no es, entonces, sino la parte próxima de la proposición.
Guillermo de Ockam
Toda ciencia, para informar con la mayor exactitud sobre su objeto, necesariamente debe apartarse de las ambigüedades del lenguaje idiomático y forjar sus propios términos técnicos o terminología. Y con mayor razón, si se trata de una ciencia formal, como las matemáticas y la lógica, éstas, además, elaboran sus propios símbolos o simbología.
La lógica proposicional limita el estudio de las formas lógicas a las proposiciones moleculares, identificando las proposiciones atómicas que la forman. Se conviene en llamar proposiciones atómicas a las que ya no pueden descomponerse en partes que sean, a su vez, proposiciones; y a partir de éstas, mediante la aplicación de los conectores proposicionales, se logran las proposiciones moleculares. De ahí que en general se llame "términos" a las partes constitutivas de todo discurso, que sustancialmente son de dos tipos: unos poseen un significado propio y autónomo, otros desempeñan la función de modificar el significado de los términos del primer tipo.
Los primeros se llaman "categoremáticos" y pueden ser, por ejemplo, sustantivos, adjetivos, verbos y aun proposiciones enteras, mientras que los segundos se denominan términos "sincategoremáticos" y son, por ejemplo, "y", "o", "no", "todos" y expresiones similares que actúan como conectores y operadores lógicos.
Se llama operadores o conectores lógicos a los símbolos que sirven para conectar o afectar proposiciones. Son de dos tipos: monádicos y diádicos.
a. Operador monádico es aquel que afecta solamente a una proposición atómica. La negación, simbolizada por " ~ " es el único operador monádico.
b. Operador diádico es aquel que afecta a dos o más proposiciones. La disyunción ( Ú ), la conjunción ( Ù ), la implicación (®~ ) y la bicondicional ( « ).
Los categoremas se definen como términos que por si solos denotan una realidad significante
En cambio, término sincategoremático son partículas tales como ‘y’, ‘o’, ‘no’, ‘si’, ‘todo’, ‘algún’, ‘solo’ y ‘ excepto’ que no pueden funcionar como términos pero revisten especial importancia desde un punto de vista lógico por contribuir a poner de manifiesto la forma de los enunciados en los cuales intervienen “[17] son aquelos que sólo, de suyo no tiene una significación plena y completa, sino por si solo no tiene una significación plena y de pende de otro para tener sentido completo.
Los términos poseen muchas veces una significación variada; de aquí viene su división en unívocos, equívocos y análogos.
Término unívoco según los Escolásticos “son aquellos a los cuales puede aplicarse un mismo término con una significación completamente semejante”[18] término animal, predicado acerca de todos los seres que tengan esta característica como el perro o el gato. Este se divide a su vez en Unívoco Universal cuando pueden prescindir de sus diferencias y Unívoco Trascendental cuando no pueden prescindir como en el caso del término ser.
Término equívoco se puede explicar como “cuando se aplica a todos y cada uno de los términos en sentido completamente distinto”[19] la voz es la misma, pero en cambio, la comprensión de su significado totalmente diverso el término "cáncer", empleado para designar una enfermedad y una constelación. Su significación es completamente vaga, formado con demasiada frecuencia accidentalmente, no intencionalmente.
Término análogo se explica como “cuando se aplica a los términos comunes en sentido no entera y perfectamente idéntico o, mejor aún, en sentido distinto pero semejante desde el punto de vista determinado o desde una determinada y cierta proposición”[20]. Es aquel que se predica de muchos según una significación y sentido en parte idéntico y en parte diverso (intrínsecamente), o aquel que significa en muchos sentidos coherentes entre sí (extrínsecamente). Así, el término de ente es análogo de la primera intrínsecamente, como se muestra en Ontología acerca del concepto de ente; en cambio, por analogía extrínseca, el término dormido dicho acerca de un estado del cuerpo y de un hombre poco inteligente.
Términos Categoremáticos y Sincategoremáticos
Debemos recordar que la proposición es una cadena de palabras con sentido completo verdadero o falso. Y si enunciamos la siguiente proposición: “Debe ser la locura de este amor imprudente”, observamos que se trata de una cadena de vocablos, donde cada palabra, a su vez, forma una unidad que llamamos término. Si contabilizamos los vocablos de la proposición referida encontramos diez palabras.
Al someter a análisis los términos integrantes de la proposición mencionada, tenemos las siguientes columnas:
Categorema Sincategorema
A B
Ser Debe
Locura la
Amor de
Imprudente
Los términos que denotan realidad (personas, animales, cosas, acciones, propiedades, estados, etc.) y los vocablos del ejemplo se hallan en la columna A. Por su parte, los términos incluidos en la columna B, por sí, no denotan ninguna realidad, pero sirven para negar, relacionar y/o determinar a los términos de la columna A.
Algunos de los vocablos son por sí significantes, otros no son significantes por sí. Son significantes por sí, los que sin añadir algo tienen significación completa; como Pedro, hablo, hablado, hablar, blancura, deslumbrante, etc. Los antiguos llamaron a estos vocablos categoremas.
Los que no tienen significación completa por sí son no significantes, pues sólo modifican la significación de otros vocablos, como son las voces todo, ninguno, alguno, este, etc., igualmente los casos oblícuos, como los adverbios, las todas las preposiciones y conjunciones. A estos vocablos los antiguos llamaron sincategoremáticos.
A los términos que denotan realidades, en lógica los llamamos (como se ha dicho anteriormente) categoremáticos y a los demás sincategoremáticos. Los conectores estudiados anteriormente constituyen un ejemplo de términos sincategoremáticos. A modo de ejemplo podemos distinguir entre categoremáticos y sincategoremáticos, con una C y con una S los siguientes vocablos:
Boca C un S
Colchón C dolor C
Día C mi S
Fin C para S
Bien C mal C
Ethan C el S
Llueve C las S
Poder C estoy C
Le damos el nombre de lógica de términos, porque estudia la estructura interna de las proposiciones penetrando en el análisis de los diversos términos que las integran. Por ello, entre los términos categoremáticos que componen una proposición, los más importantes son el sujeto y el predicado.
Carlos va a caminar en el fuego.
El sujeto es “Carlos” y el predicado “va a caminar en el fuego”. Pues es conocido que "aquello de lo cual" se dice algo afirmando o negando, se llama sujeto, y, "lo que se dice" del sujeto se denomina predicado.
Todo término dice o significa algo; por ejemplo, el término cuadrado significa: figura plana que consta de cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales. En esta definición, las notas que integran la significación del término “cuadrado” son: figura, plana, cuatro lados, y cuatro ángulos. Este conjunto de notas que integran la significación de un término, en lógica, se denomina "comprensión"; por tanto, esas cuatro notas indicadas constituyen la comprensión del término "triángulo".
COMPRENSIÓN Y EXTENSIÓN
La comprensión está dada por el conjunto de notas que integran la significación de un término. Consecuentemente, si nos referimos al ejemplo anterior, es decir, al significado de cuadrado, las cuatro notas o características anotadas constituyen la comprensión del término “cuadrado”. Pero, además de poseer las características anotadas (compresión), el término cuadrado se refiere a un número determinado de figuras planas que tienen como propiedades comunes el poseer cuatro lados y cuatro ángulos.
La extensión de un término está constituida por el número de entidades o cosas de las cuales se puede predicar con el mismo; así la extensión del término cuadrado sería todos los cuadrados. De este modo, teniendo en cuenta el número de individuos que abarcan los términos de “viviente” a “sensible”, en orden de extensión, tenemos:
viviente ® sensible ® animal ® racional ® colombiano ® costeño ® samario.
Por tanto, el término “viviente” es más extenso que el término “sensible” éste más que “samario”. Consecuentemente, el término “Samario” es de mayor comprensión que el de “viviente”. A su vez, el término hombre añade la nota de “racionalidad” frente a la amplitud del término “animal”. Si consideramos los extremos del ejemplo: “viviente” y “costeño”, es manifiestamente claro que “costeño” es el de mayor comprensión, dado que tiene todas las características de los otros más la de “costeño”; igualmente, el término “sensible” es de mayor comprensión que el de “animal” porque a las características de “animal” añade la nota de “racionalidad”.
Por tanto, podemos deducir la ley según la cual la extensión y la comprensión de un término están en razón inversa; lo cual significa que a mayor extensión corresponde menor comprensión y viceversa.
Podemos observar la extensión de los términos siguientes:
a) Miguel González Bosè, se refiere a un solo individuo;
b) algunos Músicos, se refiere a más de uno y menos de todos;
c) todos los Cantantes, se refiere a todos los individuos.
Por razón de la extensión los términos pueden ser:
- Singulares, como en “Miguel González Bosè”.
- Particulares, como en “algunos músicos”.
- Universales, como en “todos los cantantes”.
De lo anterior se deduce que los términos, por razón de su extensión, se refieren a conjuntos de cosas y que, por razón de la comprensión, connotan ciertas características o propiedades comunes a las entidades que forman un conjunto. Y la estructura mental del hombre funciona agrupando las cosas en conjuntos; pues un conjunto es una agrupación de elementos que tienen alguna propiedad en común.
Al referirse todo término a un conjunto, puede ser definido señalando los elementos que lo componen, esto es, por su extensión. E igualmente se lo puede definir por razón de la propiedad que tienen en común los elementos a los que se refiere, esto es, por su comprensión.
Proposiciones en Lógica Clásica
En toda proposición típica se afirma o niega algo del sujeto de la misma, es decir, tiene calidad afirmativa o negativa; y la afirmación o negación puede recaer sobre algunos o sobre todos los elementos que integran el conjunto representado por el sujeto; consecuentemente, por razón de la extensión una proposición puede ser universal o particular.
Por tanto, el cuadro de calificación de estas será el siguiente:
Tipo
; Afirmativa A
Universal
9 Negativa E
&
; Afirmativa I
Proposición " Particular
9 Negativa O
( ; Afirmativa S
Singular _
9 Negativa S
En la proposición singular se afirma un solo objeto como cuando decimos Fidel Castro
En la proposición particular se afirma una parte del conjunto como cuando decimos algunos cubanos.
En la proposición Universal se afirma la totalidad de los objetos como cuando decimos Todos los cubanos.
En el lenguaje natural utilizamos constantemente las proposiciones universales, particulares y singulares de forma afirmativa o negativa como cuando decimos Fidel Castro no es europeo, es una particular negativa, o decimos algunos cubanos no viven en Miami que es particular negativa para estos casos se puede concluir que la particular y singular negativas siempre van acompañadas de un no; mientras que Ningún cubano es triste es universal negativa; fijémonos en que contiene una negación que contiene todo el conjunto.
INFERENCIAS INMEDIATAS
La inducción que procede de la enumeración simple es pueril; sus condiciones son precarias.
Francis Bacon
El proceso discursivo inmediato da origen a la llamada inferencia inmediata, pues en ella se concluye una proposición de otra sin intervención de una tercera. El proceso discursivo mediato da origen a la llamada inferencia mediata, en la que se concluye una proposición de otra por medio de otra u otras proposiciones.
Las inferencias inmediatas y mediatas reciben también respectivamente los nombres de procesos discursivos simples y complejos. Entre los últimos se han incluido la deducción, la inducción y el razonamiento por analogía.
Ejemplo:
“Todo país subdesarrollado es dependiente;
es así que Colombia es país subdesarrollado;
Luego Colombia es país dependiente”,
Pues observamos que para pasar de la primera premisa a la conclusión, se necesita de la mediación de la segunda premisa; por tanto, el ejemplo es una premisa mediata. Si decimos:
"Todo país subdesarrollado es dependiente; luego no es el caso que existan países subdesarrollados que no sean dependientes",
Observamos que no se ha utilizado una premisa intermedia, pues se pasa inmediatamente de una premisa a la conclusión.
INFERENCIAS POR OPOSICIÓN
Es una operación lógica por la cual de la verdad o la falsedad de una proposición, se infiere la verdad o falsedad de sus opuestas. Aristóteles, en su libro "Sobre la Interpretación", examina aquellas combinaciones de términos que se llaman enunciados o proposiciones; estas pueden ser afirmativas o negativas según que atribuyan algo a algo o que separen algo de algo. Además, pueden ser universales o singulares; universal cuando el sujeto es universal, es decir, lo que por naturaleza se predica de varias cosas, como, hombre; es singular, cuando el sujeto es un ente sólo, como Juan.
Pero un mismo término universal puede emplearse en una proposición tanto en su universalidad, como cuando se dice “Todo penalista es abogado”, como en su particularidad, como cuando se dice “algunos abogados son penalistas”. Toda proposición es categórica cuando comienza con alguna de las palabras "todos", "ningún" y "algunos".
La relación que existe entre las proposiciones universales y las proposiciones particulares, cada una de las cuales a su vez puede ser afirmativa o negativa; estas reciben el nombre de contrarias a la oposición entre la proposición universal afirmativa y la negativa y contradictoria a la oposición entre la universal afirmativa y la particular negativa, y la particular afirmativa y la universal negativa.
La relación entre la particular afirmativa y la particular negativa, se denomina oposición sub-contraria. Se trata de una oposición para la cual, no se aplica el principio de contradicción. En efecto, de las dos proposiciones “Algunos abogados son penalistas”, “algunos abogados no son penalistas”, ambas pueden ser ciertas a la vez.
En cambio, para las proposiciones que se hallan entre sí en oposición contraria y contradictoria, el principio de contradicción es rigurosamente válido. Una de las dos tiene que ser falsa y la otra verdadera. Esta segunda exigencia, es decir, que una de las dos tiene que ser verdadera, es la expresada por el principio que mucho después se denomino de “tercero excluido”.
En este contexto podemos hablar de las posibles inferencias por oposición y captarlas si consideramos las siguientes:
Ejemplos Modelos
1) Todo país dependiente es explotado A
2) Ningún país dependiente es explotado E
3) Algunos países dependientes son explotados I
4) Algunos países dependientes no son explotados O
Una ligera observación de cada uno de los ejemplos nos permite distinguir que las cuatro proposiciones tienen el mismo sujeto y el mismo predicado; y lo único que cambia, en los modelos presentados, es la cantidad y la calidad, pues, unas proposiciones son afirmativas y otras negativas, unas universales y otras particulares. Consecuentemente, significa que las proposiciones anteriores difieren entre sí en tres formas, es decir, por razón de: a) la cantidad y calidad, b) la sola calidad, c) la sola cantidad.
En tal sentido, son opuestas aquellas proposiciones que al tener el mismo S (sujeto) y el mismo P (predicado), se diferencian entre sí, sea por la K (cantidad) y C (calidad), sea por la sola C o por la sola K.
Por tanto, al relacionar los modelos A - O observamos que difieren entre sí en K y C; del mismo modo si relacionamos los modelos E - I, constatamos que difieren en K y C; en este caso la oposición es contradictoria, pues se oponen contradictoriamente.
Si relacionamos A - E, podemos distinguir que difieren en razón de la sola C (calidad) y que la K en ambas es universal; por ello a esta clase de proposiciones se las denomina oposiciones contrarias o simplemente opuestas contrariamente.
Por otra parte, si relacionamos I - O, nos percatamos que se diferencian por razón de la C (calidad) al igual que las contrarias; pero la diferencia en estas proposiciones no está en la extensión, pues son particulares; de ahí que se las llame proposiciones subcontrarias.
Si relacionamos los modelos A - I, distinguimos que varían por la sola K (cantidad); por lo que esta clase de oposición es de subalternación, es decir, subalternas. En este caso a las universales se las llama subalternantes y a las particulares subalternadas.
Los medievales indicaron mediante letras las cuatro proposiciones clásicas:
A para la afirmativa universal;
E para la negativa universal;
I para la afirmativa particular;
O para la negativa (nego) particular.
Para nuestro caso, estos son los versos que hacen referencia a las cuatro proposiciones de las que estamos hablando:
A adfirmat, negat E, sed universaliter ambae,
I adfirmat, negat O, sed particulariter ambae.
A estas cuatro proposiciones también se las llama proposiciones categóricas. En términos de la lógica simbólica podemos traducirlas de la manera siguiente:
1 (x) (jx ®yx) que se lee: para todo x, si x es j, entonces x es y - A
2 (x) (jx ®Øyx) que se lee: para todo x, si x es j, entonces x no es y - E
3 ($x) (jx Ù yx) que se lee: para algún x, x es j y y - I
4 ($x) (jx ÙØ yx) que se lee: para algún x, x es j y no y O
Por tanto, las cuatro letras A, E, I, O son los nombres que los lógicos medievales atribuyeron convencionalmente a las proposiciones categóricas, cuya procedencia de A e I es de “AdfIrmo”; E y O de “nEgO”. En consecuencia, colocando de manera oportuna las formas normales de las proposiciones categóricas, se obtiene el clásico cuadrado de la oposición:
Todos los hombres son justos Ningún hombres es justo
Algún hombre es justo Algún hombre no es justo
Donde A es cierta y E es falsa, no pueden ser amabas ciertas, pero pueden ser falsas ambas; A, O y E, Y siempre son una cierta y la otra falsa, y no pueden ser ambas ciertas ni ambas falsas; I y O resultan implicadas, respectivamente, por A y E.
1.- A es contraria de E, porque la universal afirmativa y la universal negativa son contrarias. Todos los hombres son justos; ningún hombre es justo. En esto no hay contradicción; ambas son falsas; sin que por esto pueda decir que se verifican a un tiempo el sí y el no, puesto que basta que algunos africanos sean negros y otros no, para que resulten falsas las dos proposiciones.
Dos proposiciones son contrarias si no pueden ser ambas verdaderas, pues una niega a la otra y la verdad no puede estar en la afirmación y en la negación de lo mismo.
Según lo dicho, que las contrarias no pueden ser las dos a la vez verdaderas, pero sí falsas, de las siguientes hipótesis se concluye:
si A es verdadera, entonces E es falsa
A es falsa, E es indeterminada
E es verdadera, A es falsa
E es falsa, A es indeterminada.
La razón por la cual las contrarias no pueden ser verdaderas es que una niega a la otra y la verdad no puede estar en la afirmación y en la negación. Pero podrían ser falsas, porque una no es simple negación de la otra; o lo que es lo mismo, entre “todos” y “ninguno” caben términos medios, tales como: algunos son, algunos no son, a donde puede emigrar la verdad que ordinariamente no gusta de exageraciones. Muchas afirmaciones o negaciones que son verdaderas por lo que dicen son falsas por el modo universal como lo dicen.
2.- I es subcontraria de O, porque la particular afirmativa y la particular negativa son subcontrarias. Algún hombre es justo; algún hombre no es justo, ambas son ciertas, y la planta es viviente y carece de sensibilidad, y el animal es viviente y sensitivo, evidentemente no pueden ser ambas falsas.
Por consiguiente, se deduce las conclusiones correctas a partir de las siguientes hipótesis:
si I es verdadera, entonces O es indeterminada
I es falsa, O es verdadera
O es verdadera, I es indeterminada
O es falsa, I es verdadera
La razón por la que ambas no pueden ser falsas es que la una niega simplemente a la otra. Pero, al ser particulares, ambas pueden ser verdaderas ya que pueden referirse a distintos elementos de un conjunto de “justos”
3.- A es contradictoria de O, porque la universal afirmativa y la particular negativa son contradictorias. Todo hombre justo; algún hombre no es justo. En la primera se afirma que todo hombre es justo, y, por tanto, de algún hombre; en la segunda se niega de algún hombre; luego se contradicen. Pues, irreductible es la exclusión en la oposición contradictoria existente entre el ser y el no ser y, como consecuencia, también entre cualquier contenido (participante de alguna manera en el ser) y su negación.
4.- E es contradictoria de I, porque la universal negativa y la particular afirmativa son contradictorias. Ningún libro es de lógica; algún libro es de lógica. En la primera se niega de todo libro es de lógica; y en la segunda se afirma de algún libro es de lógica. Esto es contradictorio.
Dos proposiciones son contradictorias si una de ellas es la negación de la otra, es decir, si no pueden ser ambas ciertas y no pueden ser ambas falsas. Es indudable que dos proposiciones categóricas que tienen el mismo sujeto y el mismo predicado, pero que difieren tanto en cantidad como en calidad, son contradictorias. Por ejemplo en las proposiciones:
A: Todos los sustanciadores son abogados, y
O: Algunos sustanciadores no son abogados,
que se oponen tanto en cantidad como en calidad, son objetivamente contradictorias. Por tanto, esquemáticamente podemos decir que las proposiciones A y O son contradictorias, de la misma manera que también los son E e I.
5.- I es subalterna de A, porque la particular afirmativa es subalterna de la universal afirmativa. Todos los libros tienen letras; algún libro tiene letras. Lejos de haber oposición entre estas proposiciones, hay enlace, pues la segunda se infiere de la primera. O es subalterna de E, porque la particular negativa es subalterna de la universal negativa, que es subalternamente.
La oposición entre una proposición universal y su particular correspondiente (es decir, la proposición particular que tiene los mismos términos sujeto y predicado, y la misma calidad que la proposición universal) recibió el nombre de "subalternación". Entonces la proposición universal es llamada la "subalternante" y la particular "subalterna".
Observando el cuadro anterior percibimos que si A es verdadera I tiene que ser verdadera, porque lo que se predica de todos los elementos de un conjunto universalmente, se puede predicar de o distribuir en cada uno de los elementos que lo integran. Igualmente vemos que si la subalternada O es falsa, la subalternante E tiene que ser forzosamente falsa, porque dado que es un caso contenido en la universal, es claro que es falsa. Pero debe notarse que puede darse el caso que la universal sea falsa y la particular verdadera, como en el ejemplo:
Ningún pastuso es ladrón, es falsa
algún pastuso no es ladrón, es verdadera
En tal caso, la universal es falsa no por lo que dice, sino por el modo universal como lo dice. Igualmente puede darse el caso que la particular sea verdadera y la universal falsa, como puede observarse en el ejemplo, porque al darle extensión universal podemos falsificar el contenido de una proposición.
A partir de lo expuesto sobre la subalternación, podemos sacar las conclusiones correctas:
si A es verdadera, entonces I es verdadera
A es falsa, I es indeterminada
I es verdadera, A es indeterminada
I es falsa, A es falsa
E es verdadera, O es verdadera
E es falsa, O es indeterminada
O es verdadera, E es indeterminada
O es falsa, E es falsa
INFERENCIA POR CONVERSIÓN Y OBVERSIÓN
Entre las inferencias inmediatas tenemos la conversión, la obversión y la contraposición.
A. La conversión, para la lógica clásica es un modo de inversión de proposiciones, de tal manera que sin alterar la verdad de una proposición dada, S es P, pueda colocarse S en lugar de P o P en el lugar de S. Se han admitido al respecto tres modos principales de conversión: Simple, por accidente y por contraposición, la cual tratamos al final de este ítem.
1.- La conversión simple en la cual sujeto y predicado conservan la cantidad o la extensión. Es totalmente válido en el caso de proposiciones E e I. Así, la proposición "ningún hombre es ángel" afirma lo mismo que "ningún ángel es hombre". La O no tiene proposición conversa.
Se dice que una proposición categórica es la "conversa" de otra cuando se la forma a partir de ésta intercambiando simplemente los términos sujeto y predicado. Entonces, la proposición "ningún idealista es político" es la conversa de "ningún político es idealista" y cualquiera de ellas puede inferirse válidamente de la otra por conversión. Con todo, la conversa de una proposición A no puede deducirse válidamente de ella: "todos los perros son animales", su conversa "todos los animales son perros" no se deduce en absoluto de la primera; la primera es verdadera, la conversa es falsa.
2.- La conversión por accidente o por limitación, en la cual se conserva solamente la extensión, consiste en intercambiar el sujeto y el predicado, y cambiar, además, la cantidad de la proposición de universal en particular. La A es conversa per accidens: además de cambiar la posición de los términos, es preciso cambiar también la cantidad de la proposición, de universal a particular. Por ejemplo: la conversa de "todos los perros son animales" es "algunos animales son perros". Se produce la obversión cuando el término-sujeto permanece incambiado, y también permanece incambiada la cualidad, substituyendo el término-predicado por su complemento; mediante la conversión por limitación.
La clase complemento es la colección de todas las cosas que no pertenecen a la clase originaria. Así, si la clase "hombre" es la clase de todos los entes que son al mismo tiempo animales racionales, la clase complemento será "no-hombre", que contiene todos aquellos entes (caballos, libros, carreteras, etc.,) que no poseen la propiedad de ser animales racionales. La obversión se aplica a los cuatro tipos de proposiciones categóricas. Estamos ante una contraposición cuando en una proposición categórica se substituye el término-sujeto por el complemento de su término predicado y, al mismo tiempo, su término-predicado se sustituye por el complemento de su término-sujeto. La contraposición se aplica a A y a O; I no tiene proposición contrapuesta, y E sólo la tiene per accidens.
La inferencia por conversión puede suscitarse así:
Convertiente Conversa
A: Todo S es P I: Algunos S son P (por limitación)
E: Ningún S es P E: Ningún P es S
I: Algunos S son P I: Algunos P son S
O: Algunos S no son P (No hay conversa)
B. En la inferencia por obversión, el término sujeto no cambia, como tampoco cambia la cantidad de la proposición que se obvierte; pues al obvertir una proposición, cambiamos la calidad de la misma y reemplazamos el término predicado por su complemento.
Dicho complemento lo encontramos considerando que toda clase tiene asociada una clase complementaria, o complemento, que es la colección de todas las cosas que no pertenecen a la clase original. En tal sentido, el complemento de la clase de todos los hombres es la clase de todas las cosas que no son hombres. La característica definitoria de la clase complementaria es la propiedad (negativa) de no ser un hombre. El complemento de la clase de todos los hombres no contiene hombres, sino toda otra clase: zapatos, barcos, zanahorias, etc.
En tal sentido, la proposición A:
Todos los médicos son votantes,
tiene como obversa la proposición E:
Ningún médico es no-votante.
Obviamente, tales proposiciones son lógicamente equivalentes, de tal manera que cualquiera de ellas puede inferirse válidamente de la otra. La obversión es una inferencia válida inmediata al aplicarse a cualquier proposición categórica; así, la proposición E:
ningún maestro es parcial
tiene como obversa la proposición A lógicamente equivalente:
todos los maestros son no-parciales.
La obversa de la proposición I:
algunos metales son conductores.
es la proposición O:
algunos metales no son no-conductores.
La proposición O:
algunos países no fueron beligerantes
tiene como obversa la proposición I:
algunos países fueron no-beligerantes.
En el cuadro siguiente mostramos el marco completo de todas las obversiones válidas:
Obvertiente | Obversa |
A: Todo S es P E: Ningún S es P I: Algunos S son P O: Algunos S no son P | E: Ningún S es no-P A: Todo S es no-P O: Algunos S no son no-P I: Algunos S son no-P |
C. La conversión por contraposición, en la cual sujeto y predicado se convierten por medio de la anteposición de la negativa a cada uno de los términos invertidos. Si bien puede reducirse a las dos primeras, para formar la contraposición de una proposición dada, se reemplaza el sujeto por el complemento del predicado y se reemplaza el predicado por el complemento del sujeto. De esta forma tenemos que la contrapositiva de la proposición A:
Todos los hombres son racionales,
es la proposición A:
Todos los no-hombres son no-racionales.
Las dos proposiciones son lógicamente equivalentes, de lo cual resulta claramente que la contraposición es una forma válida de inferencia inmediata cuando se la aplica a proposiciones del tipo A. Con todo, la contraposición no introduce nada nuevo, ya que de una proposición A se puede obtener su contrapositiva aplicándole la obversión, luego la conversión y, finalmente, de nuevo la obversión.
De esta manera, si iniciamos con "todo S es P", al obvertirla se obtiene "ningún S es no-P", que mediante la conversión da "ningún no-P es S" y cuya obversa es, finalmente, "todo no-P es no-S". Entonces, la contrapositiva de una proposición A es la obversa de la conversa de la obversa de esta proposición.
De paso, y antes de cerrar la exposición breve que hemos hecho de los puntos fundamentales de la lógica de predicados, es pertinente una referencia a los conceptos de consistencia y completitud, que se atribuyen a todo sistema axiomático aceptable. Esto tiene particular importancia por cuanto que ambas características, como veremos, se pretenden imputar al sistema jurídico a través de la aplicación concreta de la lógica deóntica al discurso jurídico.
Se afirma que un sistema axiomático es consistente cuando no existe una fórmula del mismo sistema que sea junto con su negación tesis del sistema; en términos más claros; hay consistencia cuando no hay contradicción interna en el sistema.
Hay completitud en el sistema axiomático cuando todas las fórmulas son derivables como teorema. Se habla de completitud en sentido fuerte, si resulta imposible agregar más tesis de las que tiene sin caer en inconsistencias; y en sentido débil, cuando la capacidad de derivación del sistema no ha sido totalmente agotada, pero las tesis obtenidas hasta ese momento pueden ser demostrables con arreglo a las mismas reglas de transformación.
c) Lógica Modal.
La Lógica Proposicional es por definición bivalente, ya que sólo opera en función de los valores "verdad" y "falsedad", según se puede apreciar en las tablas reseñadas hojas atrás.
A partir de los estudios de Lewis y Langford, plasmados en su obra principal "Symbolic Logic"[21], la lógica sustentada en los trabajos de Russell ha sido cuestionada.
En efecto, la noción de "implicación" desarrollada por Russell, parece no explicar suficientemente la relación que se establece entre dos proposiciones cuando se afirma que una se sigue de la otra. Con ese propósito, Lewis concibe la "implicación estricta", que no es otra cosa que una implicación material necesaria.
La construcción de la noción de implicación estricta tiene una gran importancia para el desarrollo de la lógica contemporánea. Mientras que la implicación ordinaria (o inferencia lógica) puede definirse con ayuda de los operadores o verificadores funcionales (negación, conjunción, etc.), la implicación estricta exige además, para ser definida un operador nuevo: "no es posible que" (representado simbólicamente con " "), del cual se obtiene su contrario: "es necesario que".
Lewis elabora el siguiente cuadro de operadores modales:
Operador Modal..............Símbolo
Operador Modal..............Símbolo
Es posible que................. P
Es imposible que.............. P
Es necesario que.............. P[22]
En 1951 aparece la obra de G. H. von Wright, denominada "An essay in Modal Logic",[23](24) de enorme trascendencia para la lógica deóntica. En ella distingue los siguientes modos:
- Modos aléticos o de verdad. Son: necesario, posible, contingente e imposible.
- Modos epistémicos. Son: verificado (conocido como verdadero), falsificado (conocido como falso) y no-decidido (no conocido como verdadero ni como falso).
- Modos epistémicos. Son: verificado (conocido como verdadero), falsificado (conocido como falso) y no-decidido (no conocido como verdadero ni como falso).
- Modos existenciales. Son: universalidad, existencia y vacuidad. Son tratados por la "Teoría de la Cuantificación".
- Modos deónticos. Serán desarrollados en su oportunidad, ya que aquí justamente reside el origen y el planteamiento primario de la lógica deóntica.
LA ARGUMENTACIÓN LÓGICA
SILOGISMO
Yo sostengo que la invención de la forma de los silogismos es una de las formas más bellas que creó la mente
G. Leibniz
Este es uno de los mayores logros de Aristóteles como estudioso del Órganon: su teoría del silogismo, desarrollada en los Analíticos Primeros.
Nombre que proviene del griego y significa "relación". Es una forma de inferencia mediata Y la manera clásica del razonamiento deductivo,es una forma de razonamiento que consta de tres proposiciones, en donde la última se deduce de las otras dos, Todo silogismo está formado por tres partes (premisa mayor, premisa menor y conclusión)
Ejemplo
Todos los hombres son mortales
M P
Es así, que Sócrates es hombre
S M
Luego Sócrates es mortal
S P
Iniciemos por explicar que para entender lo que es bien conocido por todos sus componentes: Premisa Mayor, Premisa Menor y Conclusión, hay que entender primero que la Conclusión está formada por dos términos importantes sujeto y predicado, y es mucho más extenso el termino mortal (Predicado = P), que el termino Sócrates (Sujeto = S), esto hace que el termino más extenso se encuentre nuevamente en la premisa mayor o inicial y por esta razón reciba este nombre, mientras que el término menos extenso, el sujeto, está en la segunda premisa y por ello se llama Premisa menor. En cuanto exista un término que se repita en la premisa mayor y en la menor, pero no en la conclusión, lo denominamos termino medio = M.
REGLAS DE LOS SILOGISMOS
Son leyes estructurales a las que debe ajustarse todo silogismo para que sea válido. En total son ocho reglas, cuatro corresponden a los términos y cuatro corresponden a las proposiciones.
Reglas de los términos
Se refiere a la extensión de los silogismos:
1.- El silogismo ha de tener tres y sólo tres términos: Sujeto, predicado y término medio.
Ej. Todo arte es bello
La danza es un arte
Por tanto la danza es bella.
2.- Los términos extremos no deben figurar en la conclusión con mayor extensión en las premisas, pues en este caso una parte de la extensión quedaría fuera de la igualdad por el término medio y la conclusión sería ilegítima o inválida.
Ej. Todo Burgués es explotador
Todo Burgués es hombre
Por tanto, Todo hombre es explotador
3.- El término medio debe ser tomado en las premisas por lo menos una vez en toda su extensión.
Ej: Algunos hombres son instruidos
Algunos hombres son ignorantes
Por tanto…
4.- La conclusión no debe contener el término medio. Cuando se llega a la conclusión, la labor del término medio ha terminado. Su función es la relación de los extremos.
Reglas de las proposiciones
Se refieren a la cantidad y cualidad de los juicios y las proposiciones:
1.- De dos premisas negativas no se puede obtener ninguna conclusión.
Ej: Los líderes colombianos no defienden los intereses de los obreros
Los líderes colombianos no son democráticos
Por tanto?
2.- De dos premisas afirmativas no se puede obtener una conclusión negativa.
3.- De dos premisas particulares no se infiere ninguna conclusión. Esta regla vale tanto para las afirmativas como para las negativas.
4.- La conclusión sigue siempre a la parte más débil. Se entiende por parte más débil lo particular a lo general, lo negativo frente a lo afirmativo.
Ej. Toda acción amorosa será recompensada
Ninguna acción perversa será recompensada
Por tanto, Ninguna acción perversa será una acción amorosa
Figuras Silogísticas
En el silogismo no se determina el sitio que debe ocupar el término medio en cualquiera de las premisas; puede ir en cualquier lugar, siempre y cuando no vaya en contra de alguna regla del silogismo. Esta disposición diversa se llama figura.
Los silogismos se dividen, en tres clases o figuras, según la posición del término medio (si es sujeto o predicado):
1ª FIGURA: Si el término medio es sujeto en la premisa mayor y predicado en la menor, la conclusión se ajusta en su cualidad conforme a la premisa mayor, y en cantidad conforme a la menor.
M - P
S - M
---------
S - P
2ª FIGURA: Dos de los conceptos están subordinados al tercero o lo tienen como característica común. Así, el término medio es predicado en ambas premisas.
P - M
S - M
---------
S - P
3ª FIGURA: El término medio es el sujeto en ambas premisas.
M - P
M - S
---------
S - P
4ª FIGURA: El término medio es predicado en la primera premisa y sujeto en la segunda.
P - M
M - S
---------
S - P
PEDRO HISPANO[24] En primer lugar, pasemos a deducir las combinaciones posibles de los silogismos con los elementos disponibles: cuatro elementos (A E I O), cogidos de tres en tres (teniendo en cuenta que pueden repetirse). Por tanto: 64 Además, como hay cuatro figuras que se obtienen variando la posición del término medio, el número total de combinaciones o modos será 64 x 4 = 256.
Sin embargo, de los 256 modos sólo 25 son válidos, y de ellos 6 son inútiles.
Nos quedan, por tanto, 19, que son los que recordamos mediante las reglas nemotécnicas aportadas (principalmente) por Pedro Hispano y sus Summulae Logicales. Presentamos a continuación un cuadro con los esquemas de todos los modos:
1ª FIGURA
Barbara Premisa Mayor A Todo cuerpo es pesado.
Premisa menor A Es así que todo hombre es cuerpo.
Conclusión A Luego, todo hombre es pesado.
Celarent Premisa Mayor E Ni ningún cuerpo es espíritu.
Premisa menor A Es así que toda estrella es cuerpo.
Conclusión E Luego, ninguna estrella es espíritu.
Darii Premisa Mayor A Toda substancia espiritual inmortal.
Premisa menor I Es así que algún alma es substancia espiritual.
Conclusión I Luego, algún alma es inmortal.
Ferio Premisa Mayor E Ningún cuerpo es eterno.
Premisa menor I Es así que algún viviente es cuerpo.
Conclusión O Luego, algún viviente no es eterno.
2ª FIGURA
Cesare Premisa Mayor E Ningún animal es piedra.
Premisa menor A Todo mármol es piedra.
Conclusión E Luego, ningún mármol es animal.
Camestre Premisa Mayor A Todo mármol es piedra.
Premisa menor E Ningún animal es piedra.
Conclusión E Luego, ningún animal es mármol.
Festino Premisa Mayor E Ningún animal es piedra.
Premisa menor I Alguna substancia es piedra.
Conclusión O Luego, alguna substancia no es
animal.
Baroco Premisa Mayor A Todo mármol es piedra.
Premisa menor O Alguna substancia no es piedra.
Conclusión O Luego, alguna substancia no es
mármol.
3ª FIGURA
Darapti Premisa Mayor A Todo animal es substancia.
Premisa menor A Todo animal es viviente.
Conclusión I Luego, algún viviente es substancia.
Disamis Premisa Mayor I Algún animal es cuadrúpedo.
Premisa menor A Todo animal es substancia.
Conclusión I Luego, alguna substancia es algún
cuadrúpedo.
Datisi Premisa Mayor A Todo animal es substancia.
Premisa menor I Algún animal: es relinchante.
Conclusión I Luego, algún relinchante es
substancia.
Bocardo Premisa Mayor O Algún animal no es relinchante.
Premisa menor A Todo animal es substancia.
Conclusión O Luego, alguna substancia no es
relinchante.
Ferison Premisa Mayor E Ningún animal es espiritual.
Premisa menor I Algún animal es substancia.
Conclusión O Luego, alguna substancia no es espiritual.
Felapton Premisa Mayor E Ningún animal es espíritu. Premisa menor A Todo animal es substancia.
Conclusión O Luego, alguna substancia es espíritu.
4º FIGURA
Bramantip Premisa Mayor A
Premisa menor A
Conclusión I
Camenes Premisa Mayor A
Premisa menor E
Conclusión E
Dimaris Premisa Mayor I
Premisa menor A
Conclusión I
Fesapo Premisa Mayor E
Premisa menor A
Conclusión O
Fresison Premisa Mayor E
Premisa menor I
Conclusión O
Las vocales en su ubicación se refieren necesariamente a cómo ha de ser la forma proposicional que debe tener cada premisa.
DEL SILOGISMO A LA ARGUMENTACIÓN
Los silogismos complejos.
Lo que hemos analizado hasta el momento sólo es el silogismo simple. Pero también existen varias formas de silogismos complejos: o bien porque contienen un término complejo, o bien porque contienen proposiciones categóricas compuestas.
En los silogismos complejos de esta índole no se colocan nuevas reglas, sino que se estudian los términos, y principalmente el término medio; o si es posible el reducirse, cuando la consecuencia no aparece tan clara, a la forma del silogismo categórico.
Clases de silogismo
El silogismo modal: En el cual una de las dos o ambas premisas son iguales, la dificultad está a la hora de sacar la conclusión. Ya que si ambas premisas son de necesidad, rectamente se saca una conclusión de necesidad, pero no es la misma razón acerca de los otros.
Silogismo hipotético: es aquel que goza de alguna proposición hipotética. Sus principales formas son el condicional, el conjuntivo y el disyuntivo.
Silogismo condicional: es aquel que de una mayor condicional saca una conclusión categórica (primera clase),
Ejemplo
Si sale el sol no hay tinieblas;
es así que sale el sol;
luego, no hay tinieblas
El silogismo disyuntivo es aquel en que la mayor contiene la propia disyunción, y de la afirmación o negación de un miembro en la menor, concluye el otro en la conclusión
Este se divide en dos partes Silogismo disyuntivo laxo si contiene disyunción inclusiva
Ejemplo
Fernando está descansando o se está moviendo;
es así que descansa;
luego, no se está moviendo.
El silogismo disyuntivo estricto cuando contiene una disyunción exclusiva
Ejemplo
O es de día o es de noche
es de día
luego, no es de noche
Silogismo conjuntivo es aquel que en la mayor tiene una proposición copulativa negativa, pues si la tuviera afirmativa sería inútil.
Ejemplo
Nadie puede servir a Dios y a las riquezas
es así que Juan sirve a Dios
luego, no sirve a las riquezas.
Entinema reliquia que viene de la didáctica sofista. Es un razonamiento en el que se trata de hacer ver las consecuencias a las que conduce un razonamiento, y de esta forma refutar las premisas de las que se ha partido. Este razonamiento es el que se usa en la lógica actual, es el silogismo en que por ser demasiado obvia, no se hace explicita una de las premisas.
Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
es así que Sócrates es hombre.
Epiquerema del griego epikei-rhmaes el silogismo en el cual una o las dos premisas van acompañadas de su prueba o demostración
Ejemplo
Los seres humanos ríen.
Los esquimales son hombres.
Luego, los esquimales ríen.
Polisilogismo es una cadena de silogismos, en la cual la conclusión de un silogismo se toma como premisa de otro:
Ejemplo
lo que es simple no tiene partes
es así que el alma humana es simple,
luego no tiene partes;
es así que lo que no tiene partes es incorruptible,
luego el alma humana es incorruptible.
Sorites Proviene del término “soreites”, que significa “graduación”. es la argumentación que consta de varias proposiciones conexionadas gradualmente de tal modo que el predicado de la precedente viene a ser el sujeto de la consiguiente, y en la conclusión, el sujeto de la primera se une con el predicado de la última proposición:
Ejemplo
Todos los vertebrados tienen simetría bilateral
todo mamífero es vertebrado
luego, todo mamífero tiene simetría bilateral
todo rumiante es mamífero
luego todo rumiante tiene simetría bilateral
todo bovino es rumiante
luego, todo bovino tiene simetría bilateral
Dilema, El vocablo “dilema” proviene de la palabra griega lémma, lo que uno escoge o elige (del verbo lwnbdno, coger), y del prefijo dís, que significa “dos”. Por dli emma se entiende, por tanto, la existencia dedos proposiciones opuestas y disyuntivas, de modo que la eleccióon de una de ellas lleva necesariamente al rechazo de la otra. Esta es la definición lógica de dilema y la base de su significado popular, como situación en la que es necesario elegir entre dos alternativas o cursos de acción normalmente desagradables o difíciles. llamado también "silogismo cornuto", es la argumentación en la cual, de dos miembros propuestos disyuntivamente, se asumen ambos para sacar una conclusión en contra del adversario, en cuanto que se le hace ver al adversario que, o bien se sigue algún absurdo, o bien se deduce alguna verdad. Así, es conocido el argumento de Tertuliano en contra del decreto de Trajano:
Lo que afirmas es verdadero o falso
si es falso, conviene conocerlo para refutarlo
si es verdadero, conviene conocerlo para seguirlo
luego, siempre conviene conocerlo.
Los juicios jurídicos concretos proceden de un Juez o de un funcionario administrativo, en ellos se encuentra lo que popularmente denominamos órdenes, como el “tú debes hacer X”
1. KARL ENGISCH:
ENGISCH publicó un libro importante en la historia de la Lógica Jurídica titulado “Introducción al pensamiento jurídico”[26], en este discute los problemas de orden lógico relacionados con el proceso que se aplica en normas generales, los relativos al llamado silogismo jurídico y los métodos que utilizan o de los que se suelen valer los órganos de la rama jurisdiccional para formular premisas.
En la obra, encontramos que el interés jurídico-práctico termina concretándose en la obtención de juicios jurídicos concretos que expresan deberes.
Muchas veces cualquier abogado puede decir que situación debe hacer jurídicamente, pero otras veces este juicio lo emiten personas diferentes del destinatario del precepto ya sea de forma oficial o privada, los órganos judiciales formulan juicios normativos concretos; estos pueden darse en materia civil, o en materia penal al dictar una sentencia que lleve implícita una condena.
Los juicios jurídicos concretos que proceden de un juez o de un funcionario diferente contienen algo más, que los juicios de un particular, porque en ellos hay una declaración de voluntad, un mandato, pero todos presuponen un deber.
El juicio normativo concreto, desde la lógica, es un juicio auténtico, teniendo como característica su conveniencia con la verdad o la falsedad, y tiene siempre la pretensión de ser cierto. Esto lo diferencia del mandato que requiere determinado comportamiento y solo puede encerrar la pretensión de ser justo, adecuado a su fin. La que tiene un mandato requiere manifestación exterior; en el juicio normativo la manifestación oral o escrita no es esencial.
El juicio normativo-judicial tiene un juicio en sentido lógico, pero encierra un elemento que no es un juicio en sentido lógico: El mandato.
Este autor se ocupa solamente del juicio normativo concreto como estructura mental, que no sólo aparece en una resolución judicial, sino que puede encontrarse en el espíritu de cualquier abogado al que se le haga una consulta.
La fuente para justificar un juicio está en el sentimiento jurídico, o en el sentir de un pueblo; en ese caso podría ser dudoso, porque no se sabe hasta dónde la verdad tenga una garantía, de cualquier forma la ley para un jurista es la fuente de conocimiento más importante.
Engisch, en su investigación, busca esclarecer la estructura lógica del razonamiento aplicando preceptos legales a un solo caso para obtener un juicio jurídico concreto y fundado.
En la aplicación de una ley a un caso concreto, la premisa mayor sería la que establece la ley; la menor es cuando está referida a hechos, puede formularse recurriendo a una confesión, a un testimonio o a un indicio. En cuanto a la forma del silogismo jurídico, el autor toma como referencia un ejemplo pero no tiene en cuenta la estructura interna de la premisa.
Los razonamientos en que hay premisas con negaciones no deben confundirse con aquellos que son de tanta importancia para el jurista. Negar un fundamento no conduce a la simple negación de una consecuencia jurídica, si no, a la negación de esta como consecuencia de ese fundamento.
CONSTRUCCIÓN DEL SILOGISMO
Para ello se construirá el silogismo, siguiendo la estructura del Modus Ponens.
pàq Si alguien comete el delito de homicidio, debe sufrir
Pena de muerte
p M ha cometido homicidio
----- -----------------------------------------------------------
Q M debe sufrir la pena de muerte
LA PREMISA MAYOR
A esta premisa se puede llegar por medio de la interpretación de los textos o por procedimientos cuyo estudio sobrepasa los limites de la lógica.
La proposición normativa (premisa mayor): corresponde al conjunto de enunciados reglamentarios que imperan en un período; no son ni verdaderos ni falsos, sino válidos o no, acatados o no, y dependen de una disposición constitucional, o de la discusión dogmática del caso.[27]
En lo referente a la interpretación, los procedimientos que el juez debe aplicar para obtener la premisa mayor se revisten de formas lógicas muy particulares.
LA PREMISA MENOR
El problema se encuentra en la formulación de la premisa menor, ya que subsume el caso bajo el supuesto jurídico de la norma genérica. En lo que es subsunción, es decir cuando tomamos un elemento como parte de un conjunto más amplio o como un caso particular que hace parte de uno más general, ENGISCH precisa que se distinguen tres elementos:
1.- La representación del hecho jurídico.
2.- La comprobación que efectivamente se ha realizado.
3.- La calificación que exhibe las notas constitutivas del supuesto jurídico, y este es el elemento. El que consiste propiamente en la subsunción.
En lo que al primer punto respecta, el autor declara que por subsunción se entiende la subordinación del hecho jurídico a las notas conceptuales del supuesto legal.
Esta recibe el nombre de proposición enunciativa (premisa menor, dato): corresponde a juicios de la experiencia que describen situaciones particulares y consideraciones de hecho; son verdaderas o falsas debido a que se les somete al criterio de falsación experiencial, y dependen de los términos procesales: testigos, declaraciones, etc. poco importa el método de la subsunción que los grupos de casos o los casos que sirven como base de comprobación se deriven en forma casuística de la ley, o sean descritos con notas conceptuales, pues de lo que se trata es de determinar las clases que el supuesto legal designa y de acuerdo con el intérprete son subordinadas, para subsumir después de alguna de ellas el asunto que ha sido sometido a consideración del juez.
Engisch recuerda la opinión de otros autores, en cuyo estudio de los casos jurídicos se hacen a un lado las particularidades accidentales, para quedarse sólo con las esenciales.
En los procesos lo primero que ocurre es hacer la afirmación o suposición del hecho y lo que hay que determinar es, si es o no subsumible, bajo el supuesto de alguna norma.
Se plantean dos preguntas:
¿Qué significa la realización efectiva del hecho jurídico?
¿Qué tratamos de expresar con los términos hecho y realidad?
Como hechos reales o efectivos vienen primeramente los objetos, propiedades y sucesos que pertenecen al mundo exterior, inclusive el cuerpo humano y los procesos psíquicos que se desarrollan en el interior del hombre.
Lo que pertenece al futuro no es nunca algo efectivo o real, por grande que sea la certeza de que habrá de realizarse.
PRUEBA DEL HECHO JURÍDICO
Vuelve el autor al punto de partida y llega así a la teoría de la prueba, expresión equivocada con la que quiere indicar que por la aceptación de la prueba, el juez se convence de la realidad de los hechos jurídicamente relevantes que al comienzo sólo tienen que ser afirmados, pero ¿en qué se funda tal convencimiento? ¿Cómo se llega lógicamente a él?, la respuesta es sencilla, cuando el hecho que se quiere calificar ocurre ante los ojos de quien debe hacer la calificación. Desde el punto de vista lógico, un medio de prueba sólo realiza su fin en la medida en que es utilizado.
Los indicios pueden definirse como hechos inmediatamente perceptibles, que son convertidos en objetos de la percepción durante el período probatorio y luego, de acuerdo con las reglas de la experiencia, sirven de base para establecer la realidad, es decir, comprobar.
FORMULAS DE ULRICH KLUG[28]
Al referirse al silogismo jurídico, Klug expone lo relacionado a la lógica simbólica y la estructura de los razonamientos por los cuales los preceptos jurídicos son aplicables a los casos que se prevean.
Parte de esta doctrina, según la cual, el razonamiento de la norma abstracta de situaciones particulares puede variar dependiendo:
Modus bárbara I que parte del esquema clásico: todos M son P, todo los S son M, todos S son P, es decir, que tienen como juicio universal, la premisa menor.
Modus bárbara II que es el que exhibe como premisa menor un juicio singular.
Discusión de algunos aspectos de la doctrina de Engisch y Klug.
En las tesis de Engisch, se plantea que las resoluciones judiciales tienen dos elemento una declaración de deber ser y una declaración de voluntad, en las cuales la primera no es de naturaleza normativa, sin que ostente la característica de ser verdad o falsedad; en la medida en que sea verdad, hay fundamento, que reside en el juicio jurídico en general y por ello es aplicable a todos los supuestos previstos en la norma, pero recordemos que el juicio general no es la ley, sino una modificación de ésta.
Es muy diferente un juicio normativo (ordena) del juicio enunciativo (prohíbe ciertas conductas), de esto debemos decir que establecen si son verdaderos o falsos los valores, y se pueden comprobar si se recorren los pasos del artículo, donde nos dice tal o cual cosa; mientras que el juicio normativo no tiene como finalidad establecer la verdad o la falsedad de algo, porque ellos se refieren a la orden de ser o a los destinatarios de la norma que la hace efectiva.
CRÍTICAS AL SILOGISMO JURÍDICO
La premisa mayor puede ser en muchos casos una norma, pero la menor no puede únicamente desarrollarse con base en los hechos, pues dentro del acervo probatorio existen muchas más situaciones que hacen que esto no sea cierto, esta teoría se puede aplicar a los tribunales de última instancia Corte Suprema de Justicia, Tribunales o Circuito, pero cuando son en primera o segunda instancia no podemos negar que existe una serie de hechos que se ven necesariamente reflejados dentro del proceso, las pruebas, las inferencias realizadas por los jueces y abogados. En cuanto a la sentencia, esta puede o no corresponder con la realidad, pero por este motivo los fallos no dejan de ser válidos; es por ello por lo que podemos afirmar que los juicios no son enunciativos como se piensa, sino normativos y a demás categóricos y concluyentes; lo que no podemos negar es la importancia del proceso de inducción en el Derecho Procesal, pues los juicios se forman gracias a estas formas de pensamiento.
FALACIAS.
Que el error lógico es, en última instancia, un cierto tipo de descuido, es un supuesto fundamento para el estudio (de la lógica)
Lewis Carroll
Falacia' deriva del latín ‘fallacia’, que quiere decir engaño, fraude o mentira con que se intenta dañar a alguien. En efecto, las falacias nos engañan, haciéndonos admitir como válidos razonamientos que no lo son. En las falacias los errores se hallan revestidos de una apariencia de corrección. Como se comprende, un error visible sería detectado de inmediato.
En el lenguaje coloquial el término 'falacia' se emplea a menudo con poco rigor para designar cualquier idea equivocada o creencia falsa, como la falacia de creer que "todos los judíos son avaros" o que "ninguna mujer es infiel” A veces se llama, asimismo, falacia a una proposición falsa, pero este es también un uso impropio.
En un sentido más estricto o más técnico los lógicos usan el término “falacia” como error en el razonamiento. Para que haya falacia es menester que haya algún razonamiento, aunque sea en el sentido “aparente”. Una falacia es un tipo de razonamiento incorrecto. Pero no todo razonamiento incorrecto es una falacia. Algunos razonamientos son tan obviamente incorrectos que no engañan a nadie. Por ejemplo: "Si algunos jueces son probos, entonces todos los jueces son probos", es un razonamiento incorrecto, pero no es una falacia. En lógica se acostumbra reservar el nombre de 'falacia' a aquellos razonamientos que, aunque incorrectos, son psicológicamente persuasivos. Una falacia es un tipo de razonamiento incorrecto que se presenta como si fuese correcto, pero resulta no serlo cuando se lo analiza cuidadosamente.
Importancia de su estudio
Las falacias son trampas del lenguaje en las que cualquiera de nosotros puede caer al efectuar un razonamiento. Así como se colocan o levantan señales para prevenir a los viajeros y apartarlos de los lugares peligrosos, así también los rótulos para las falacias, pueden considerarse como otras tantas señales de peligro colocadas para impedir que caigamos en trampas del razonamiento incorrecto. La familiaridad con estos errores y la habilidad para identificarlos y analizarlos pueden impedir que seamos engañados por ellos. Su estudio y conocimiento permitirá ponerlos al descubierto y saberlos evitar.
El estudio de las falacias estuvo en boga durante le Edad Media e incluso en los primeros tiempos de la Edad Moderna, pero cayó en desuso con el advenimiento de la lógica formal contemporánea. El lógico belga Perelman ha iniciado una exploración en este campo. Las falacias están siendo objeto de un nuevo estudio y revaloración.
Clases de falacias
Aristóteles fue el primero en presentar una lista de trece falacias en su escrito sobre las refutaciones sofísticas, el cual es considerado como un apéndice de los Tópicos. El Estagirita indica que hay dos clases de razonamientos: unos válidos y otros que no lo son, aunque parecen serlo. Estos últimos son, precisamente, las falacias. Éstas se dividen en dos grandes grupos: las formales y las no formales.
Falacias Formales:
Cuando su validez no proviene de una trasgresión de la lógica formal, como también pueden resultar de un razonamiento inductivo o de un razonamiento deductivo, y así se les puede dividir en
Sofisma deductivo formal: resulta de una infracción a las leyes de la lógica.
Ejemplo
Todos los renos tienen cuernos
es así que algunos rumiantes son renos
luego, todos los rumiantes tienen cuernos
Este silogismo incorrecto por la forma, falta a la regla que dice que la conclusión debe seguir siempre la parte más débil. La conclusión debió ser luego, algunos rumiantes tienen cuernos.
Sofisma deductivo material: Puede resultar de una doble interpretación del lenguaje.
Ejemplo:
Dos por dos más tres son diez 2 x (2+3) = 10
Dos por dos más tres son siete 2 x 2 + 3 = 7
Luego, diez es igual a siete 10 = 7
Sofisma inductivo material: Resulta de la falta de observación y experimentación.
Ejemplo:
Por la aparición de un cometa o un fenómeno celeste se les responsabiliza de las guerras y otras calamidades.
Sofisma inductivo formal: Cuando se presentan faltas de generalización.
Ejemplo:
El oro es un metal sólido
el bronce es un metal sólido
el cobre es un metal sólido
el platino es un metal sólido
luego, todos los metales son sólidos.
La falta de enunciados hace que se tenga en cuenta el mercurio como un metal sólido.
Falacia de afirmar el consecuente: Consideremos el condicional en símbolos
p →q
Si afirmamos q, y concluimos que con ello se afirma p, obtenemos una inferencia incorrecta en símbolos
p → q
q
---------
p
Puede conocerse en un modo intuitivo como:
Conozco que alguien viene
Pedro es el que viene
-------------------------
luego conozco a Pedro
Puede verse que no hay razón para cada vez que alguien venga sea necesariamente Pedro.
Falacia de Negar el Antecedente: Consideremos el condicional en símbolos
p → q
Si negamos p, y concluimos con ello que se niega q, obtenemos una inferencia incorrecta en símbolos
p → q
~ q
---------
~p
Puede conocerse en un modo intuitivo como:
Conozco que alguien viene
Pedro no es quien viene
-------------------------
luego no conozco a Pedro
FALACIAS NO FORMALES
Las Falacias se dividen en dos grupos: Atingencia y de Ambigüedad.
Falacias de Atingencia: La palabra atingencia significa que va a suceder de esta forma existen once tipos de falacias.
1.- Falsa Conclusión o Inatingente: Cuando tenemos un razonamiento que se orienta hacia una conclusión, pero se usa para probar otra.
Ejemplo
El crimen es castigado duramente
Rodrigo es sospechoso de haber cometido un crimen
Luego Rodrigo debe ser castigado duramente
2.- Personales: Cuando atacamos directamente a la persona ya sea por características personales o circunstanciales estas se dividen en:
a.- Falacia ad hominem: En vez de presentar las razones adecuadas o pertinentes contra una opinión determinada, se pretende refutar tal opinión censurando a la persona que la sostiene, si el ataque que encierra el argumento se dirije directamente a la persona que hace esa afirmación
Ejemplo:
Creo que hoy va a llover
No creo que llueva porque usted siempre miente
b.- Falacia ad hominem circunstancial: por sus circunstancias especiales y presuntamente reprochables.
Ejemplo
Usted debe estar de acuerdo con devaluar la moneda, pues usted es miembro del partido político X que siempre la ha devaluado cuando hay crisis.
3.- Falacia de llamada al pueblo o ad populum: Cuando en un argumento se omiten las razones pertinentes que pueden llevar a la aceptación o el rechazo de su conclusión y se utilizan, por el contrario, y se invocan como "razones" hechos o circunstancias imaginarios o reales con la única finalidad de excitar los sentimientos y emociones del auditorio, nos encontramos con un argumento falaz que se denomina ad populum. Este término significa que el argumento se dirige a un conjunto de personas -"al pueblo"- con la intención de provocar en ellos aquellos sentimientos que les hagan adoptar el punto de vista del hablante.
Ejemplo
El candidato X es el candidato de las personas sanas del país, el candidato por el que votarán los buenos ciudadanos y por el que todos los elementos sanos de la población votarán en las próximas elecciones.
4.- Argumentum ad misericordiam o Apelación a la misericordia: Este es el recurso a la piedad, también conocido como súplica especial. Esta falacia se comete cuando alguien apela a la piedad para que se acepte una conclusión.
Ejemplo:
"Yo maté a mis padres con un hacha. Por favor no me condenen; ya estoy sufriendo mucho siendo un huérfano."
"Yo maté a mis padres con un hacha. Por favor no me condenen; ya estoy sufriendo mucho siendo un huérfano."
5.- Falacia ad verecundiam, falacia de autoridad o falsa autoridad: Significa apelación a la autoridad. Se recurre al argumento de autoridad, al sentimiento de respeto que se tiene hacia esa autoridad para conseguir así el asentimiento hacia una conclusión.
Ejemplo: Nos dirigen hacia la guerra nuclear. La semana pasada George Bush comentó: comenzamos el bombardeo a Irán en cinco
minutos. (Por supuesto, él la dijo como broma durante la
prueba del micrófono.)
minutos. (Por supuesto, él la dijo como broma durante la
prueba del micrófono.)
6.- Argumentum ad ignorantiam, significa "argumento desde la ignorancia" o Falacia de Ignorancia: La falacia ocurre cuando se dice que algo debe ser cierto simplemente porque no se ha probado su falsedad. O, equivalentemente, cuando se dice que algo es falso porque no se ha probado su veracidad.
(Nótese que esto no es lo mismo que asumir que algo es falso hasta que se demuestre lo contrario. En la ley, por ejemplo, se asume la inocencia de alguien hasta que se demuestra su culpabilidad.) Ejemplo:
"Por supuesto que no existen la telepatía ni otros fenómenos síquicos. Nadie ha demostrado evidencias de que existan."
7.- Falacia ad baculum o Apelación a la fuerza: El término "ad baculum" significa "al bastón" y en este contexto se refiere a aquellos argumentos que apelan a la fuerza o poder de algo o de alguien como razón conclusiva para establecer la verdad de la conclusión. Es frecuente usar este tipo de argumento falaz cuando faltan o fracasan los argumentos racionales, y, naturalmente, quienes lo practican son aquellas personas que tienen poder, ya sea económico, político, militar, social, etc.
8.- Circulus in demonstrando o falacia de circularidad: Esta falacia ocurre si se asume como premisa la conclusión a la que se quiere llegar. Generalmente la proposición es reformulada para que la falacia aparente ser un razonamiento válido.
Ejemplo:
”Los homosexuales no deben ejercer cargos públicos. Por tanto cualquier funcionario público que se revele como homosexual perderá su trabajo. Luego, los homosexuales harán cualquier cosa para esconder su secreto, y serán susceptibles de chantaje. En consecuencia, los homosexuales no deben ejercer cargos públicos.”
”Los homosexuales no deben ejercer cargos públicos. Por tanto cualquier funcionario público que se revele como homosexual perderá su trabajo. Luego, los homosexuales harán cualquier cosa para esconder su secreto, y serán susceptibles de chantaje. En consecuencia, los homosexuales no deben ejercer cargos públicos.”
9.- Petitio principii Petición de Principio o Implorar la controversia: Esta falacia ocurre cuando las premisas son tan cuestionables como la conclusión alcanzada. Por ejemplo:
”Los extraterrestres secuestran a víctimas inocentes todos los días. El gobierno debe saber lo que sucede. Luego, el gobierno está confabulado con los extraterrestres.”
10.- Falacia de la causa falsa: La falacia de tomar como causa lo que no lo es o falacia de falsa causa, se da cuando se toma como medio aquello que en verdad no es medio ni es la causa de que se una el predicado con el sujeto, y que, sin embargo, parece ser la causa de ello, como si se dijera: “La muerte es corrupción, la vida es generación, luego vivir es ser engendrado, porque la vida y la muerte son contrarias”; pues ésta no es la causa correcta, porque no son contrarias, sino privativas. Ocurre que un argumento presenta como causa de un hecho, algo que no tiene ninguna razón verdadera para considerarlo como su causa real.
11.- Pregunta compleja o falacia de la interrogación o falacia de la presuposición: Es la forma interrogativa de implorando la controversia. Un ejemplo es la clásica pregunta capciosa, la pregunta presupone una respuesta exacta a otra cosa que nunca fue preguntada. Esta trampa es generalmente usada por los abogados en los interrogatorios, cuando hacen preguntas como las siguientes:
¿Ha abandonado usted sus malos hábitos?
Falacias de ambigüedad. La palabra ambigüedad quiere decir una variación del significado de los términos, estas se dividen en cinco casos:
1.- Falacia de Equívoco Cuando sin darnos cuenta, se usa dentro del mismo contexto una misma palabra, con diferentes significados literales.
Ejemplo:
“El fin de una cosa es su perfección, la muerte es el fin de la vida; por tanto, la muerte es la perfección de la vida” Este razonamiento es falaz, porque en él se hallan dos sentidos diferentes de la palabra fin. En uno se toma como objetivo y en otro como último suceso.
2.- Falacia de anfibología Un enunciado es anfibológico cuando su significado es confuso debido a la manera descuidada, torpe o incorrecta en que sus palabras están combinadas. Un enunciado anfibológico puede ser verdadero en una interpretación y falso en otra.
Ejemplo:
Los títulos de los periódicos, muchas veces presentan anfibologías: "Un granjero se saltó la tapa de los sesos después de despedirse afectuosamente de su familia con un revólver".
Los títulos de los periódicos, muchas veces presentan anfibologías: "Un granjero se saltó la tapa de los sesos después de despedirse afectuosamente de su familia con un revólver".
3.- Falacia de énfasis Consiste en el cambio de significado de un enunciado como consecuencia de resaltar o destacar "enfáticamente" alguna parte del mismo, de tal manera que dicho enunciado tendría una interpretación diferente si se lo formulara sin énfasis alguno.
Este tipo de falacias cometido con frecuencia por la prensa escrita, al remarcar ciertos titulares de tal manera que llamen la atención de público, para atraerlo:
Este tipo de falacias cometido con frecuencia por la prensa escrita, al remarcar ciertos titulares de tal manera que llamen la atención de público, para atraerlo:
Ejemplo:
"¡GUERRA NUCLEAR! es lo que se teme por parte de las naciones..."
"¡GUERRA NUCLEAR! es lo que se teme por parte de las naciones..."
4.- Falacia de composición Reciben este nombre dos tipos de razonamientos falaces distintos, pero relacionados entre sí.
El primero de los razonamientos consiste en atribuir las cualidades o propiedades de las partes de un todo, al todo.
Ejemplo:
Cada uno de los barcos está preparado, la flota está preparada para la batalla.
El segundo de los razonamientos consiste en afirmar que debido a que los componentes de una clase o elemento de una colección tienen determinada propiedad, también la posee la clase o colección misma. La falacia se comete cuando se pretende que lo que se puede predicar distributivamente de una clase o colección, también se pueda predicar colectivamente de ella.
Ejemplo:
Un autobús gasta más combustible que un automóvil, todos los autobuses gastan más combustible que los automóviles.
5.- Falacia de división Esta consiste en el error inverso a la falacia de composición; por tanto, adopta dos formas diferentes:
El primer tipo consiste en razonar falazmente al atribuir las propiedades de un todo a cada una de sus partes.
Ejemplo:
Afirmar que porque una obra literaria sea interesante, cada uno de sus capítulos lo son.
El segundo tipo consiste en atribuir las propiedades de una clase o colección a cada uno de los miembros de la clase o elementos de la colección. También se confunden las cualidades que se atribuyen distributivamente con las que lo son colectivamente, consistiendo la falacia en afirmar que lo que es cierto de una clase colectivamente también lo es distributivamente.
Ejemplo:
La afirmación "el hombre desciende del mono". Sólo puede ser considerada verdadera colectivamente, pues si se predicara distributivamente la propiedad de descender del mono, de cada uno de los hombres, sería falsa (y ofensivo para algunos padres...)
Maneras de evitar las falacias
Conociéndose que la falacia es una trampa en la que cualquier persona puede caer en el proceso del razonamiento, es necesario:
* Contar con una cierta habilidad para indicarla y analizarla a fin de impedir que seamos engañados por ella al caer inconscientemente en una familiaridad.
* Para evitar las falacias se requiere una vigilancia constante y la conciencia de las muchas maneras en que podemos incurrir en alguna de ellas. Por ello es útil un estudio preciso de los diferentes usos del lenguaje, contar con una comprensión de la flexibilidad del lenguaje y la multiplicidad de sus usos impedirá que confundamos el sentido de sus términos.
* Debemos tener presente que las palabras son resbaladizas y la mayoría de ellas tienen toda una variedad de sentidos o significaciones diferentes, y hay falacia allí donde se confunden estos significados diferentes.
* Es indispensable definir los términos claves que se utilizan, pues los cambios en la significación de los términos pueden hacer falaz un razonamiento, dado que la ambigüedad puede evitarse mediante una cuidadosa definición de los mismos, recordemos que la definición es un tema importante para el estudio de la lógica.
* Por otra parte, comprendiendo que todo raciocinio consiste en la manifestación de que un juicio está contenido en otro, la consecuencia legítima debe estar afirmada en las premisas; sacarla es poner explícito lo que estaba implícito; el medio no es más que aquello de lo cual echamos mano para desenvolver las premisas, y manifestar que en una de ellas está contenida la conclusión.
* De ello resulta que todo raciocinio se funda en el principio de contradicción; y toda consecuencia, para ser legítima, debe ser tal, que no admitiéndola, se afirme y se niegue una cosa al mismo tiempo.
* El sofisma es la argumentación de la que se saca una consecuencia ilegítima con apariencias de legitimidad. En todo sofisma se pretende que una proposición esté contenida en otra, cuando realmente no lo está; el secreto para desenredarse de los sofismas es volver atrás, reflexionando atentamente sobre el verdadero sentido de la proposición en la que el sofisma se apoya.
Reglas para Evitar Falacias
Como el principio fundamental de los silogismos es que las cosas idénticas a una tercera son idénticas entre sí, resulta que todas las reglas de los silogismos pueden reducirse a una sola: la comparación deben hacerse en los mismos extremos por un mismo medio. Por ello deben considerarse minuciosamente las reglas del silogismo que se incluyen en este texto.
Se superan las falacias considerando que la inteligencia puede dar su asentimiento de dos modos.
Primero, cuando es determinada por el objeto. Esto se produce en dos casos: 1.- Cuando el objeto es conocido él mismo, inmediatamente, como en el caso de los primeros principios; 2.- Cuando es conocido por medio de otro, mediante, como en el caso de la conclusión de una demostración. En el lenguaje técnico de la escuela, sólo el segundo caso recibe el nombre de "ciencia"; el primero se llama "inteligencia".
Segundo, cuando oponemos razón y fé, englobamos en la razón todas las funciones naturales de conocimiento, comprendidos los sentidos, aquí, cuando oponemos saber y creer, englobamos en la ciencia todos los casos en que el juicio está determinado por el modo.
La verdad es una propiedad del juicio (relativamente al ser). La certeza es un estado del espíritu (respecto de la verdad de su juicio). La evidencia es una propiedad del objeto (relativamente a una función de conocimiento cualquiera). La evidencia es la claridad con la que un objeto aparece a una facultad de conocimiento, la manifestación o, como actualmente se dice, la revelación del ser. Por ello es el fundamento o el criterio de la certeza.
EJERCICIOS DE FALACIAS
Clasifique las siguientes falacias en algún tipo y explique porque, no importa tanto la clasificación como la justificación recuerde que cada una puede estar en diferentes clasificaciones.
1. "Me parece que todas las críticas al servicio de Correos son infundadas. ¿Por qué? Acabo de recibir una carta de Estados Unidos que sólo demoró tres días en llegar".
2. "No entiendo a la gente que reclama contra la comida rápida, tal como las papas fritas y los hot dogs. Ellos dicen que estos alimentos sólo tienen componentes químicos, pero se olvidan que todos los alimentos que consumimos, como el pan, el agua y la leche también están constituidos por elementos químicos".
3. Pienso que se ha hecho demasiado escándalo sobre el espionaje que la CIA ha en el exterior. Como si los otros países no hicieran lo mismo.
4. "No me parece adecuada la campaña de los medios de prensa contra la pérdida de 28 millones de huevos debido al uso de alimentos contaminados. Esta cantidad de parece muy grande, pero representa la producción de huevos de un día al año. Me pregunto si usarían la misma energía para condenar el despilfarro de petróleo o madera, que representa un porcentaje mucho mayor".
5. La mayoría de las mujeres profesionales leen la revista Carola. Por tanto, debe ser una buena revista.
6. "Algunas personas dicen que si Dios hubiese querido que personas del mismo sexo se amaran, entonces, en primer lugar, no habría creado sexos diferentes. Siguiendo este argumento, se podría decir que, si Dios hubiese querido que usáramos ropa, no nos habría creado desnudos. Es completamente inadecuado para este contexto el partir de lo que Dios hubiese querido hacer".
7. En estudio de las tribus primitivas muestra que los primeros hombres tenían muchos temores. Los principales eran miedo a las enfermedades, a ser aplastados por la caída de un árbol o ser devorado por las bestias salvajes. Algunos hombres ganaron gran influencia en esas tribus primitivas al ofrecer encantamientos que permitirían alejarse de esos peligros o afirmando que algunos espíritus benevolentes más poderosos que esos peligros los protegerían si se aproximaban a ellos de un modo apropiado. Los que prefirieron el segundo camino fueron los que introdujeron la religión. Si éste es el origen de la idea de Dios, la religión no es más que superstición.
8. "El Gobierno estudiantil es un error desde su base. Miren lo que ocurre en aquellos hogares en los que los niños pueden hacer lo que ellos quieren".
9. Si tu idea fuera buena, ya alguien habría pensado en ella antes.
10. [AVISO COMERCIAL] Nosotros permanecemos detrás de cada cama que vendemos.
11. Se nos informa que la prostitución ha aumentado de tal manera que se está convirtiendo en un problema nacional. Sin embargo, eso no es ni la mitad del problema que nos afecta. Por lo menos la mitad de los hombres y las mujeres de este país son hoy día prostitutas. Venden sus cuerpos y sus mentes en trabajos que carecen de significados para sus personas y son socialmente destructivos.
12. "En los comienzos de los años 70, algunas personas dijeron que el uso de la marihuana causaba adicción a la heroína. Esta opinión se sostuvo sobre la base de que la mayoría de la gente que usaba heroína usó primero marihuana. Me parece que este argumento es incorrecto. Es lo mismo que decir que beber leche es lo que provoca que una persona use cocaína. Después de todo, la mayoría de las personas que usan cocaína, bebieron leche en su infancia".
13. La televisión no puede ser dañina para los niños, ocupa su atención por horas y los mantiene alejados de los peligros de la calle.
14. "Fumar cigarrillos es como ingerir arsénico en el organismo. Se ha mostrado que ambos son factores causales de la muerte. Si UD. no desea ingerir una cucharada de arsénico, entonces deje de fumar cigarrillos".
15. De acuerdo a una reciente encuesta, la mayoría de las personas, de hecho el 71% de los encuestados, están de acuerdo en permitir la legalización de la droga. En consecuencia, debería legalizarse la droga.
16. UD. puede pensar como UD. quiera.
17. "Nadie objetaría a un médico la práctica de consultar en un libro médico, cuando se ve enfrentado a una dificultad. ¿Por qué, entonces, no se le permite a los estudiantes que consulten sus textos cuando rinden sus exámenes?"
18. No tiene sentido escuchar lo que vas a decir. Todos sabemos que eres un fanático comunista.
19. Un amigo mío, que trabaja como vendedor viajero, me dijo que es una falta grave el robar productos de un supermercado, ocultándolos en la ropa, puesto que esto constituye una conducta perjudicial para toda la sociedad. Pienso, sin embargo, que no vale la pena hacer caso de este consejo porque yo sé que él a menudo "infla" la cuenta de sus gastos cuando viaja por medio de su oficina.
20. [CONSEJO ESTUDIANTIL] Si quieres saber lo que es el caos, ven a las clases del profesor de Física.
21. Ni la más leve brizna de un escándalo ha tocado al senador. El debe ser, por tanto, incorruptiblemente honesto.
22. ¡Tú me dices que es magnífico tener una vida sana! Pero si fumas y bebes más que yo.
23. Es cierto que el Sr. Gómez niega ser un terrorista, pero no debemos olvidar que los terroristas han sido entrenados para negar que son terroristas. Considero que no debemos hacer caso de sus declaraciones.
24. El Congreso no debería preocuparse en consultar a los jefes de las Fuerzas Armadas para discutir el presupuesto militar. Como miembro de tales instituciones ellos se esforzarán para obtener el máximo de recursos que les sea posible obtener.
25. [REFRAN] Si UD. no va al funeral de otras personas, ellas no vendrán al suyo.
26. La obligación de la prensa es informar de todos los acontecimientos que son de interés para la opinión pública. No se puede negar que el escándalo en que se vio envuelto el diplomático inglés ha despertado el interés de la opinión pública. En consecuencia, la prensa no cumpliría con su deber si no informara sobre las intimidades del diplomático.
27. El nuevo parlamentario es partidario de elevar los impuestos de las grandes corporaciones; pero permítanme que les recuerde que fue electo por un margen muy estrecho, después de una campaña cínica y escurridiza en las que demagógicamente apeló a las más bajas pasiones de nuestro pueblo y prometió todo a todo el mundo, sabiendo que no podía cumplir estas promesas. Es absurdo que se eleven los impuestos.
28. "No entiendo porqué la gente prefiere ir al cine en lugar de ver televisión. Después de todo, Ud. puede sentarse en la privacidad de su casa; no debe pagar por la película, no tiene que vestirse para salir y no tiene que gastar dinero en chocolates, movilización o propinas".
29. [AVISO EN UN RESTAURANTE] Si UD. cree que los mozos son mal educados, vea al jefe.
30. "Toda persona tiene el derecho a mantener su propiedad. Por tanto, aún cuando José ha sido declarado mentalmente perturbado, no hay derecho a quitarle su fusil automático".
31. "Se debería legalizar el juego de azar en todo el país. En primer lugar, sería una fuente enormes ingresos a través de la tributación. En segundo lugar, estimulará a los turistas a venir y gastar su dinero acá. En tercer lugar, no se requiere hacer ningún gasto ni esfuerzo, excepto el de aprobar la ley".
32. [AVISO EN UNA CLINICA] Si UD. tiene problemas para quedar embarazada, visítenos.
33. "Conocí a un miembro del Directorio y es una persona muy desagradable. Yo no confiaría en ninguno de ellos".
34. "La Constitución garantiza la libertad de expresión. Por tanto, si una persona cree que el único camino para desarrollar ciertas reformas es a través del terrorismo, él o ella debería tener libertad para incitar al terrorismo".
35. "Sólo los muy ricos o los muy pobres constituyen una preocupación válida para el Gobierno. Los muy ricos porque tratan de influir en los legisladores mediante el poder de su riqueza y los pobres porque carecen de riqueza para preocuparse de sí mismos".
36. La naturaleza selecciona a los más aptos y destruye a los menos aptos, a fin de que éstos no contaminen la herencia genética de los más aptos. Si la naturaleza hace eso, es evidente que se puede eliminar a los seres menos aptos de nuestra sociedad.
37. No perderé tiempo en leer su trabajo.
38. "Sólo hay dos clases de personas: los triunfadores y los perdedores".
39. [INFORME POLICIAL] La Policía informa que cada día es más difícil realizar las investigaciones sobre los homicidios porque las víctimas no desean cooperar.
40. "El encarcelar a una persona, sin un juicio justo, es opresivo. El infundir en la gente el temor a las autoridades de gobierno, es opresivo. El obligar a los niños a asistir al colegio es opresivo. El obligar a los padres a hacerse cargo de sus hijos, es opresivo. En todas las sociedades se sigue alguna de estas prácticas. Esto nos muestra que toda sociedad es opresiva".
41. Yo no permito preguntas en mi clase porque si le permito a un alumno una pregunta, todos quieren preguntar y lo primero que ocurre es que no hay tiempo para exponer los contenidos del curso.
42. "La muerte no es un tema que debiera preocuparnos. ¿Por qué? Porque sólo caben dos posibilidades: se trata de la total aniquilación de la persona y su alma; o bien, el viaje del alma a un lugar donde vivirá para siempre en paz y felicidad. ¿Por qué, entonces, el hombre de bien debería preocuparse por la muerte, si ésta sólo puede traer la nada o la vida eterna".
43. Debemos ser muy cuidadosos al enjuiciar los escritos del filósofo Schopenhauer contra las mujeres. Cualquier psiquiatra podría explicar su conducta por las muy extrañas relaciones que tuvo con su madre.
44. Si la ley norteamericana permite que el divorcio por incompatibilidad, entonces no entiendo por qué no se divorcian todos los norteamericanos. He conocido muchos matrimonios felices, pero nunca uno compatible. La razón es que la mujer y el hombre como tales son incompatibles.
45. "Creo firmemente en la máxima que dice: Haz a otros lo que te gustaría que te hicieran a tí. Por tanto, si alguien me pide ayuda en un examen, yo debo prestársela; porque si yo estuviera en un examen y no supiera lo que se me pregunta, me gustaría que alguien me ayudara".
46. Votar por mi oponente es votar por el caos.
47. "Puesto que es correcto decir siempre la verdad, entonces es correcto decirle a nuestros amigos todo lo que pensamos de ellos".
48. "El consumo de alcohol debería tener más impuestos a fin de financiar el costo que significa rehabilitar a los alcohólicos. Esto es la política que se sigue con el impuesto a la bencina, el que permite financiar el costo de la mantención de las carreteras".
49. No se puede decir nada demasiado bueno de este libro.
50. "En comparación con el pasado más y más gente está asistiendo hoy día a la Escuela Media y a la Universidad. Sin embargo, hay también hoy día más delincuencia juvenil y más alienación entre los jóvenes. Este hecho evidencia que la gente joven está siendo corrompida por la educación".
51. "No estoy de acuerdo con la política de restringir el uso de las armas de fuego a fin de terminar con los asesinatos y los asaltos. ¿Redujo, acaso, el deseo de beber la prohibición de la venta de alcohol?"
52. "Puesto que cada vez que los norteamericanos han tomado parte en una guerra mundial han tenido un presidente demócrata; deberían pensar dos veces antes de votar por un candidato demócrata en la próxima elección".
53. "Es muy sabido que la gente que cepilla regularmente sus dientes, tiene una dentadura muy sana. Se sabe también que la gente que vive en áreas más pobres tienen seis veces más caries que la gente que vive en áreas acomodadas. De este modo, los expertos en Salud Pública están empeñados en que los niños de barrios pobres se cepillen sus dientes todos los días".
54. "El matrimonio sería grandemente favorecido si los esposos leyeran los Evangelios y rezaran juntos todas las noches. No es de extrañar que abunde el divorcio cuando la vida religiosa ha descendido en un 90% y en algunos lugares en un 100%".
55. "Pienso que el matrimonio de su hija debe haberla preocupado terriblemente, puesto que ella era su única hija. Ella nunca habla de ella, pero me di cuenta que su pelo se empezó a ponerse blanco poco después de la boda".
56. "La pena capital fue suspendida en 1962. A partir de esa fecha ha habido un incremento en el número de policías que han muerto en el cumplimiento de su deber. Al mismo tiempo se ha producido un gran desorden en el manejo de las instituciones penales. Pienso que debería aprobarse, de nuevo, la pena capital".
57"Después que la policía cambió el color de los automóviles destinados al patrullaje, los delitos empezaron a disminuir".
58. "Desde que se construyeron los "lomos de toro" en diversas calles de Santiago, el número de personas accidentadas que han concurrido a un hospital ha disminuido".
[1] ROSS Alf, Lógica de las Normas, Editorial Tecnos, Madrid, 1971, p. 11.
[2] Ídem., p. 11y 12.
[3] Ídem., p. 12.
[4] Ídem., p. 12.
[5] Op, Cit., p. 12.
[6] Ídem, p. 13.
[7] Ídem, p. 13.
[8] TARSKY Alfred La Concepción Semántica de la Verdad y los Fundamentos de la Semántica. Buenos Aires, Ediciones Nueva Visión, 1972, p. 55.
[9] MATES Benson, Lógica Matemática Elemental. Editorial Tecnos, Madrid, 1979, p. 16
[10] Ídem, p. 17
[11] Alf Ross, Op. cit. p. 15.
[13] VERNENGO Roberto José, Curso de Teoría General del Derecho, Buenos Aires, Cooperadora de Derecho y Ciencias Sociales, 1976, p. 44
[14] Ídem, p. 17
[15] TIRADO Álvaro Rodríguez, en "Lógica Deóntica y Modelos Semánticos", Instituto de Investigaciones Filosóficas, UNAM, 1972. p. 16
[16] Ídem, p. 17
[21] KALINOWSKI Georges, Introducción a la Lógica Jurídica, Buenos Aires, Eudeba, 1973, p. 16
[22] Ídem, p. 18.
[23] Ídem, p. 24.
[24] Obispo Cardenal en Tusculum y elevado a la sede papal fue comentarista de Aristóteles de varios tratados naturales (De animabulus, El de morte et vida, De causis Longitudines, El breviatis vitae y De anima) lo fue todavía más como lógico. El compendio que redacto Summulae Logicales, fue usado como texto de estudio y como base de comentario por los filósofos de todas las edades.
[25] Esta parte se desarrolla con base a la teoría expuesta por GARCÍA MÁYNEZ, Eduardo, Lógica y raciocinio Jurídico, Fondo de Cultura Económica, México, 1964, p. 126-154.
[26] ENGISCH, Kar, Introducción al pensamiento jurídico, Ediciones Guadarrama, Madrid, 1967.
[27] Para ver más sobre la discusión sobre la Dogmática ver LUHMANN, N. Sistema jurídico y Dogmática jurídica, Madrid, Centro de Estudios Constitucionales, 1989.
[28] KLUG Ulrich, Normas jurídicas y análisis lógico. Centro de estudios constitucionales, Madrid, 1988, y también en KLUG, Ulrich, Lógica jurídica. Universidad Central, Caracas, 1961.
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